趙新華1， 劉英梅1， 喬 宇2
( 1.天津大學(xué)環(huán)境科學(xué)與工程學(xué)院，天津300072；2.天津大學(xué)機(jī)械學(xué)院，天津 300072)

　　摘　要：研究了城市給水管網(wǎng)可靠度的計(jì)算，首先從可靠度與圖論原理出發(fā)，闡釋了算法設(shè)計(jì)的依據(jù)，然后從管網(wǎng)結(jié)構(gòu)的角度，以最小路原理為依據(jù)，應(yīng)用最小路不交化方法設(shè)計(jì)了給水管網(wǎng)可靠度的算法并進(jìn)行了實(shí)例驗(yàn)證。
　　關(guān)鍵詞：城市給水管網(wǎng)；可靠度；最小路；不交化
　　中圖分類號(hào)：TU991.33
　　文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：C
　　文章編號(hào)：1000-4602(2002)04-0053-03

?　以最小路不交化算法為核心，從管網(wǎng)的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)入手，分析管段的關(guān)聯(lián)關(guān)系對(duì)管網(wǎng)可靠度的影響，采用遍歷計(jì)算的方式，從單個(gè)管段的可靠度計(jì)算出管網(wǎng)中水源點(diǎn)與任意非水源點(diǎn)的可靠度，取最小值作為管網(wǎng)系統(tǒng)可靠性的評(píng)價(jià)。

1 　計(jì)算依據(jù)

　　如果給定一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，將其整體作為一個(gè)系統(tǒng)、每條弧作為一個(gè)組件。系統(tǒng)可靠性理論的中心問題是要確定系統(tǒng)可靠度與其組件可靠度之間的關(guān)系。?
1.1 管網(wǎng)組件可用度A
　　給水管網(wǎng)在實(shí)際運(yùn)行中經(jīng)常出現(xiàn)管段故障的情況，經(jīng)維修后仍投入正常運(yùn)行，那么稱這樣的管段為可維修組件，其可靠度用組件可用度A表示。?
　　組件在規(guī)定的條件下，在任意時(shí)刻上正常工作的概率稱為組件瞬時(shí)可用度A(t)；與瞬時(shí)可用度相對(duì)應(yīng)的是瞬時(shí)不可用度，表示組件在規(guī)定的條件下使用時(shí)任意時(shí)刻故障的概率用Q(t)表示，顯然Q(t)=1-A(t)。?
　　采用組件瞬時(shí)可用度公式：?

　　

　　式中 ?λ——管網(wǎng)的故障率?
　　　　　 μ——管網(wǎng)的修復(fù)率?
　　將組件可用度A定義為管段從開始到使用壽命T這一時(shí)間段內(nèi)的平均可用度，即求A(t)的數(shù)學(xué)期望E［A(t)］。由函數(shù)的數(shù)學(xué)期望公式得：?

　　

　　又因?yàn)閒(t)在［0，T］時(shí)間段內(nèi)服從均勻分布，f(t)=1/T、t∈［0，T］，故組件可用度的數(shù)學(xué)式表示為：

　　

　　相應(yīng)的組件不可用度Q=1-A。?
1.2 管網(wǎng)系統(tǒng)可靠度
　　在研究系統(tǒng)可靠性時(shí)，首先對(duì)所研究的對(duì)象作4點(diǎn)假設(shè)：?
　　① 組件和系統(tǒng)都只有正常和失效兩種狀態(tài)；?
　　② 系統(tǒng)的狀態(tài)完全由系統(tǒng)的邏輯關(guān)系和組件的狀態(tài)決定；?
　　③ 組件的狀態(tài)轉(zhuǎn)移率即故障率λ和修復(fù)率μ均為常數(shù)；?
　　④ 組件或系統(tǒng)的故障和修復(fù)都相互獨(dú)立。?
　　采用最小路不交化算法求解。設(shè)G是一個(gè)給定的網(wǎng)絡(luò)，V₁、V₂是指定的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，則基本問題是求時(shí)刻T由輸入節(jié)點(diǎn)V1可以到達(dá)輸出節(jié)點(diǎn)V2的概率，亦即求時(shí)刻T系統(tǒng)正常的概率R。?
　　對(duì)網(wǎng)絡(luò)的路及最小路的定義如下：?
　　定義1對(duì)于給定網(wǎng)絡(luò)G，從指定的節(jié)點(diǎn)V1經(jīng)過一串弧序列(或其中的一部分弧)可以到達(dá)節(jié)點(diǎn)V₂，則稱這個(gè)弧序列為從V1到V2的一條路。?
　　定義2對(duì)于給定網(wǎng)絡(luò)G，從節(jié)點(diǎn)V₁到V₂的弧序列稱作一條最小路，若滿足①它是一條路，②最小性，即從這個(gè)弧序列中除去任意一條弧后它即不是從V1到V2的路。?
　　由于系統(tǒng)正常這一事件可表示為S={V1可以到達(dá)V2}={由V1至少有一條最小路通到V2}，這里最小路是指組成這條最小路的弧都正常這一事件。因此，若記A1，A2，…，Am為網(wǎng)絡(luò)的所有最小路，則，，即將求可靠度問題轉(zhuǎn)化為求隨機(jī)事件和的問題。?
　　由概率論可知：　稱為容斥定理 。?
　　若能把系統(tǒng)正常這一事件表示成不交(即相斥)事件之和稱為相斥求和公式。?
　　當(dāng)最小路數(shù)目不多時(shí)，用直觀方法可以得到全部最小路；若系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，產(chǎn)生的最小路數(shù)目較多時(shí)，應(yīng)采用圖論中的鄰接矩陣法［1、2］求全部最小路。用最小路不交化方法將相依事件轉(zhuǎn)化為相斥事件，然后利用相斥求和公式求解系統(tǒng)的可靠度，從而簡化了計(jì)算過程。?
　　定理1設(shè)A1，KAm為網(wǎng)絡(luò)G的所有最小路，A1，L，Ar的長度都小于n-1，A_r+1，L，Am的長度為n-1，且r＜m，則：

　　　　

　　其中右端、Br+1、L、Bm之間不交，而Br+1、L、Bm為Ar+1、L、Am中分別添上在其中不出現(xiàn)的(l-n+1) 條弧的逆而成之事件。?

2 　算法設(shè)計(jì)

　　對(duì)于已知結(jié)構(gòu)的管網(wǎng)系統(tǒng)，每個(gè)水源點(diǎn)與每個(gè)非水源點(diǎn)之間的系統(tǒng)可靠度都可以采用最小路不交化算法求得，即：將水源點(diǎn)處理為輸入節(jié)點(diǎn)，非水源點(diǎn)處理為輸出節(jié)點(diǎn)，采用鄰接矩陣法求得網(wǎng)絡(luò)的所有最小路，并對(duì)所求得的所有最小路進(jìn)行不交化處理，就可以結(jié)合組件的可用度進(jìn)行此時(shí)的系統(tǒng)可靠度計(jì)算。?
　　假設(shè)管網(wǎng)的管段可用度Ax與管段不可用度Qx均已求出，且通過鄰接矩陣分析已知A1，KAm為管網(wǎng)G中水源點(diǎn)i與非水源點(diǎn)j之間的所有最小路，A₁，L，Ar的長度都小于n-1，A_r+1、L、A_m的長度為n-1，則其系統(tǒng)可靠度R的計(jì)算過程如下：
　　① 挑出長度為n-1的最小路全體A_r+1、KAm，利用公式 將求集合并的問題簡化為求代數(shù)和的形式，B_i是指在A_i中添上在其中不出現(xiàn)的(l-n+1)條弧的逆而成之事件，Bi之間不交，其概率之和作為系統(tǒng)可靠度的一部分，即最小路長度為n-1子集的可靠度R1。?
　　
　　循環(huán)計(jì)算，其中每一步使Aj與A1、L、Aj-1、不交，j=2,……，r(r為集合元素?cái)?shù))。
　　d.?F中還有項(xiàng)(即r_k+1≥1)嗎?若有，則K←K+1，轉(zhuǎn)b步驟)，否則結(jié)果R₂就作為系統(tǒng)可靠度的另一部分。
　　③ R=R1+R2即為系統(tǒng)可靠度，任一條不交化最小路B_i=x₁Lx_n-1xnLxl的概率為：P{B_i}=Ax1LAx_n-1Qx_nLQx_l。
　　在分別考慮了每個(gè)非水源點(diǎn)與水源點(diǎn)之間的系統(tǒng)可靠度后，給水管網(wǎng)的可靠度取其中的最小值，即最不利點(diǎn)的系統(tǒng)可靠度。?

3　 實(shí)際算例

　　某市一小區(qū)給水管網(wǎng)的規(guī)劃設(shè)計(jì)，管網(wǎng)共有20個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中有一個(gè)水源點(diǎn)、19個(gè)用水點(diǎn)和28條管段(見圖1)，設(shè)計(jì)供水能力為131 L/s左右，全部管段采用DN100～DN500的鑄鐵管鋪設(shè)。?

　　 故障率λ定義為單位時(shí)間單位長度管線發(fā)生故障的次數(shù)。對(duì)該市多年的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，確定的管道故障率λ值見表1。

表1 管道故障率 管徑(mm) λ(次·a^-1·km^-1) 管徑(mm) (次·a^-1·km^-1) 100 1.02 300 0.78 150 0.95 400 0.68 200 0.90 500 0.51 250 0.85 600 0.45

　　修復(fù)率μ定義為單位時(shí)間管道維修的次數(shù)。根據(jù)該市大量管道維修業(yè)務(wù)臺(tái)帳進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，對(duì)于DN300及DN300以下的管道修復(fù)率取1095次/a，對(duì)于DN300以上的管道修 復(fù)率取730次/a。
　　本算例采用的時(shí)間段T值為5 A，從計(jì)算結(jié)果(表2)可見該小區(qū)的管網(wǎng)很可靠，即管段比較可靠和管網(wǎng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)合理。在管網(wǎng)的運(yùn)行中各個(gè)管段相互關(guān)聯(lián)，后者對(duì)于管網(wǎng)的改擴(kuò)建工作尤其有重要意義，因?yàn)樵诓贿^多改變管徑的前提下，通過提高管網(wǎng)的連通性來提高管網(wǎng)的可靠性是既節(jié)約成本又保證管網(wǎng)可靠性的好方法。

表2 各管段可靠度計(jì)算結(jié)果 管段 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 起點(diǎn) 20 1 1 2 2 3 5 7 5 6 6 7 7 8 終點(diǎn) 1 2 3 4 5 6 4 4 7 8 9 8 10 11 管徑(mm) 500 400 300 250 400 300 150 100 400 150 400 300 400 300 長度(m) 450 70 545 463 160 263 435 1115 180 495 180 170 270 396 可靠度(%) 99.93 99.93 99.76 99.92 99.88 99.77 99.88 99.81 99.79 99.70 99.72 99.74 99.40 99.71 管段 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 起點(diǎn) 9 9 10 11 11 14 16 14 12 13 17 17 17 18 終點(diǎn) 12 13 11 12 14 15 15 16 17 18 16 18 19 19 管徑(mm) 200 250 400 400 200 150 200 200 400 200 250 200 150 100 長度(m) 555 123 305 72 180 600 130 430 225 450 235 352 590 645 可靠度(%) 99.58 99.50 99.49 99.44 99.43 　 　 　 　 　 　 　 　 　

4 結(jié)語

　　從管網(wǎng)靜態(tài)結(jié)構(gòu)出發(fā)計(jì)算了管網(wǎng)系統(tǒng)的可靠度，并利用實(shí)際管網(wǎng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了驗(yàn)證，證明了算法的有效性，但還需進(jìn)一步研究的問題如下：?
　　① 改進(jìn)現(xiàn)有算法，引入稀疏矩陣、并行計(jì)算等方法以提高運(yùn)算速度，利于大型管網(wǎng)的計(jì)算研究。?
　　② 結(jié)合管網(wǎng)運(yùn)行的動(dòng)態(tài)性計(jì)算管網(wǎng)的水力可靠度，但是水力可靠度的分析與結(jié)構(gòu)可靠度的分析是密不可分的，需要找到它們之間的綜合關(guān)系，進(jìn)行管網(wǎng)系統(tǒng)可靠性的整體評(píng)價(jià)。?
　　③ 若把可靠度的計(jì)算與管網(wǎng)改擴(kuò)建工作的綜合規(guī)劃相結(jié)合，將發(fā)揮更大的作用。

參考文獻(xiàn)：

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　　［2］Rajesh Gupta.Reliability analysis of water-distribution systems［J］.Journal of Environmental Engineering,120(2)：447-460.
　　［3］Bao Y，Mays L W.Model for water-distribution system reliability［J］.Journal of Hydraulic Engineering,116(11)：1119-1137.

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　　電　　話：(022)27400830
　　收稿日期：2001-10-11