趙新華¹，陳春芳¹,鄭毅²?
(1．天津大學 環境工程系，天津 300072；2.天津市自來水集團公司，天津 300040)

　　摘要： 介紹了給水管網可靠度計算的兩種方法，重點介紹了最小割集法。首次提出了給水管網計算中管件可用度和平均可用度的概念，并建立了相應的數學模型。通過管網故障狀態下水力模擬仿真模塊，計算節點和系統的最小割集，利用可用度計算模塊，計算出組件的可用度和不可用度，進而求得節點和系統的可靠度。?
　　關鍵詞： 給水管網；最小割集；可靠度；可用度?
　　中圖分類號： TU991.33
　　文獻標識碼： C
　　文章編號： 1000-4602(2000)01-0057-04

　　給水系統的可靠性是指在一定時間內，在一定的運行條件下給水系統完成預定功能的性質。給水系統的功能是保證用水對象獲得所需的水量、水壓和水質。如果用水過程中發生惡化, 使這三個指標中任意一個下降到允許的限度以下，就說系統發生了故障(本文研究的是水 壓 和水量惡化引起故障的情況)。按照系統發生故障的原因，可以將可靠性分成兩大類：機械可靠性(Mechanic Reliability)和水力可靠性(Hydraulic Reliability)。前者主要是由于管件發生損壞或被隔斷引起的供水能力的下降，通常通過維修或更新來處理；而后者主要是由于長期使用，管件內部摩阻增大，造成水頭損失增大而引起,通常可采取水泵調節或 刮管涂襯來處理。本文主要研究基于機械可靠性的給水管網可靠度的計算。

1 可用度模型及可靠度算法

　　對所研究的對象有四點假設：
　?、?部件和系統都只有正常和失效兩種狀態；
　　② 系統的狀態完全由系統的可靠性框圖和部件的狀態決定；
　　③ 部件的狀態轉移率,即故障率λ和修復率μ均為常數；
　　④ 組件或系統的故障和修復都是相互獨立的。
　　設系統S由n個部件組成，用二值變量X_i來表示第i個部件的狀態
　　
　　系統的狀態可以用下述函數ø(X)=ø(x₁,x₂,…,x_n)來表示，其中X是n維向量øX=(x₁,x₂,…,x_n)，ø(X)是n維向量的二值函數，即n元二值函數，有
　　
　　把這種n維二值變量的二值函數稱為n維結構函數。?
　　計算給水管網可靠度可以采用以下兩種方法。
? ① 不交最小路算法
　　a. 對于簡單小型管網，可以采用鄰接矩陣法求出所有最小路。?
　　b. 對于大型復雜管網，節點數很大，鄰接矩陣往往是稀疏矩陣，因此用鄰接矩陣法求最小路要大容量去存貯，可以采用計算機算法求最小路。
　　若已知全部最小路集，由初等概率論知
　　
　　但是，當m大時，每個P{S?i}就得由Cmⁱ項概率的和來求得，因此由式(1)求數值結果時共2^m-1項求和(或差)，總的運算量就非常大。因此就要對最小路進行不交化，不交化后可利用相斥事件求和公式：
　　
　　得可靠度：
　　
　?、?對于多水源管網，應用枚舉法求系統及節點的最小割集較為方便。
　　本文采用最小割集法(Minimum Cut Set)求節點和系統的可靠度。
　　按圖論的理論，所謂割集，就是系統部件的狀態變量集合(x₁,x₂,…,x_n)中滿 足下列條件的子集：設該子集為{x_j1,…,x_ja},j=1,…,m，{ x_j1,…,x_ja}∈{ x₁,x₂,…,x_n}， 當x_j1=…=x_ja=0時 ,Ø(x)=0，即該子集所對應的全體部件故障時，系統s必定故障。 其中m為割集數，為結構函數。那些去掉一個部件即不構成割集的割集稱為最小割集。
　　城市供水管網實際運作是個動態過程，用管網圖形的拓撲結構生成最小割集進而計算節點和系統的可靠度，并不能很好地反映供水管網運行狀態的實時變化。因此，我們可以采用管網故障狀態水力模擬的方法確定實際狀態下的最小割集。
　　在實際管網中，當管段發生故障，可以采用關閘方式關閉有關管段進行維修，這時認為管段被從管網中除去, 就可以用水力計算方法進行管段(管段組合)故障狀態下的狀態模擬。如 果節點水壓高程(水量)值小于所要求的節點水壓高程(水量)的最低值, 則認為節點發生故障，該管段(管段組合)就是這個節點的一個最小割集，同時也是系統的一個最小割集。對管網中每根管段及管段的組合進行上述模擬，就可以求出節點和系統的全部最小割集。對于一般城市管網，枚舉各種管段組合的數量是相當大的，又因為兩個以上管段同時發生故障的概率很小，所以可以首先只對單個管段進行故障狀態下的模擬，然后對優化結果進行單個管段和兩管段同時發生故障的可靠度的計算。如果結果不甚令人滿意，可重新考慮對單 個管段和兩個管段同時故障時的模擬。
　　在以往的文獻中，一般都是以可靠度這個指標來表示給水管網的可靠性。它沒有反映出管段、節點和系統的各自特點以及它們之間的相互關系。
　　根據定義，部件壽命分布函數為
? F(t)=P{X≤t},t≥0? (5)
　　記 R(t)=P{X>t}=1-F(t) (6)
　　一般R(t)稱為該部件的可靠度函數或可靠度。
　　由定義可知，可靠度表示了部件壽命這個隨機變量，對于初始狀態部件為完好的情形，F(t) 是部 件首次出現故障前的時間分布，R(t)為從某個初始狀態出發，在時刻t仍處于正常狀態的概率，這里t是指壽命時間。而給水管網屬于可修復系統，對于可修復系統，系統可由正常和故障兩個狀態不斷交替的過程來描述。一般來說，給水系統組件的故障和修復率都服從指數分布。由指數分布的無記憶性可知，初始時刻t以后系統發展的概率規律完全由時刻t是正常還是故障所決定，而與該系統在時刻t已經工作了多長時間或已修理了多長時間無關。因此，組件在任意時刻正常工作的概率應該用可用度A(t)來表示?？捎枚鹊亩x為：組件在規定的條件下，在任意時刻上正常工作的概率。它的數學式表示為：
　　
　　式中 λ-- 故障強度，也叫失效率，表示單位時間單位長度管線發生故障的次數，a^-1·km^-1 μ-- 修復強度，也叫維修率，表示單位時間管段維修的次數，h^-1這里研究初始時刻部件處于完好狀態的情形，同理也可以求得該時刻部件處于故障狀態的情形。考慮［0,T］時間段內組件的平均可用度，即為求A(t)的數學期望E［A(t)］。由函數的數學期望公式得：
　　
　　相對于可用度A(t)是不可用度Q(t)，定義為：組件在規定的工作條件下使用時，在任意時刻上處于故障狀態的概率。
　　 Q(t) =1-A(t)? (12)
　　研究節點和系統的可靠性，引入可靠度這一概念。節點可靠度的定義為：在某一時間段內，節點的水壓高程大于節點所要求的最小水壓高程的概率。系統可靠度的定義為：在某一時間段內，所有節點都可靠的概率。
　　設某節點j或系統s的一個最小割集MCi中包含n條管段, 則該最小割集的故障概率為：
　　
　　設某一節點j或系統s有m個最小割集，則該節點或系統的故障概率為：
　　 　　　　　　　　　　　　　　　　(16)
　　則該節點或系統正常工作的概率為：
　　R_j=1-P_j 　　(17)
　　R_s=1-P_s ? 　(18)
　　本文提出的算法可以用流程圖(圖1)來表示。

　　其基本步驟是：
　?、?搜集原始數據，獲得管網結構圖，平差基本數據，組件故障率、修復率資料及節點和系統可靠度指標值。
　?、?用枚舉法進行管網故障狀態水力模擬，求節點和系統的最小割集。
　　③ 按式(11)、(12)計算組件可用度和不可用度。
　?、?按式(13)～(18)計算節點和系統的可靠度。?

2 算例

　　本文采用^［1］的管網(圖2)對以上提出的算法進行了驗算，并編制了相應的程序。

　　對于一些原始數據，如管徑、管長、節點流量、節點初始水壓、節點壓力水頭的約束均采用了該篇文章的數據，對于另外一些參數，如故障率、修復率則是通過查閱大量文獻資料并結合我國國情現狀確定的(見表1)。建議在實際應用中，這些參數從歷史資料的統計分析中獲得。算例中研究的時間區間為2年，由于該管網規模較小，枚舉的運算量不是很大，所以討論了一條或兩條管段故障的情況，在586PⅡ300機上占CPU時間約3min。計算結果見表1。
　　從表1可以看出：水源點附近的點比距離水源點較遠的點的可靠性高；當降低故障率或提高修復率時，節點或系統的可靠度都會提高。這一結果對運行的管理和控制有一定的實際指導意義。

3 結論

　　綜上所述，討論給水管網中節點及系統可靠度，首先應在掌握歷史資料的基礎上，通過統計回歸的方法得到各管段的故障及維修參數λ和μ，求出各管段的可用度A(t)和不可用度 Q(t) ，然后調用水力模擬仿真模塊計算出各個節點在故障狀態下的水壓Hj，并與允許的水壓最低值H_jmin進行比較，如果H_j＜H_jmin，則模擬的故障管段即為最小割集。在得到各節點及系統的最小割集后，運用可靠度計算模塊計算節點及系統的可靠度。

表1 給管網可靠度計算數據及結果 管段號1 起始
節點 終止
節點 管徑
(m) 長度
(m) 故障率
(a^-1.km^-1) 修復率
(h^-1) 節點
編號 節點流量
(L/s) 水壓高程約束
(m) 可靠度 1 20 1 0.50 450 0.0140 0.50 1 0 710 0.9898 2 1 2 0.43 70 0.0165 0.50 2 2 710 0.9778 3 1 3 0.33 545 0.0230 0.50 3 10 710 0.9759 4 2 4 0.23 463 0.0375 0.50 4 14 710 0.9759 5 2 5 0.43 160 0.0375 0.50 5 5 710 0.9657 6 3 6 0.33 263 0.0165 0.50 6 2 710 0.9632 7 5 4 0.15 435 0.0230 0.50 7 15 710 0.9530 8 7 8 0.10 1115 0.0490 0.50 8 8 710 0.9526 9 5 7 0.40 180 0.0510 0.50 9 2 710 0.9521 10 6 8 0.45 495 0.0175 0.50 10 4 710 0.9524 11 6 9 0.40 180 0.0175 0.50 11 8 710 0.9521 12 7 8 0.35 170 0.0210 0.50 12 10 710 0.9499 13 7 10 0.40 270 0.0175 0.50 13 2 710 0.9501 14 8 11 0.30 396 0.0250 0.50 14 2 710 0.9495 15 9 12 0.20 555 0.0445 0.50 15 8 710 0.9445 16 9 13 0.25 123 0.0285 0.50 16 9 710 0.9460 17 10 11 0.40 305 0.0175 0.50 17 12 710 0.9461 18 11 12 0.38 72 0.0190 0.50 18 11 710 0.9461 19 11 14 0.20 180 0.0445 0.50 19 7 710 0.9081 20 14 15 0.15 600 0.0490 0.50 20 -131 710 1.0000 21 16 15 0.20 130 0.0445 0.50 　 　 　 　 22 14 16 0.18 430 0.0460 0.50 　 　 　 　 23 12 17 0.40 225 0.0175 0.50 　 　 　 　 24 13 18 0.20 450 0.445 0.50 　 　 　 　 25 17 16 0.25 235 0.0285 0.50 　 　 　 　 26 17 18 0.20 352 0.0445 0.50 　 　 　 　 27 17 19 0.15 590 0.0490 0.50 　 　 　 　 28 18 19 0.10 645 0.0510 0.50 　 　 　 　

參考文獻：
［1］ 徐祖信.水分配系統以可靠性為基礎的線性優化模式［J］.同濟大學學報, 1996，5.
［2］ 布拉莫夫.給水系統可靠性［M］.北京：中國建筑工業出版社，1990.

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