任伯幟¹，許仕榮²，王濤²

(1.湘潭工學院土木工程系，湖南湘潭 411201；2.湖南大學土木工程學院，湖南長沙410082)

　　摘要：在參與長沙市暴雨強度公式的編修實踐中，應用二元插值理 論細化及擴展離均系數表，用最小二乘法適線確定皮爾遜—Ⅲ型分布統計參數，驗證結果表 明用該方法獲得的皮爾遜—Ⅲ型理論頻率曲線與實測暴雨強度統計資料擬合得最好。
　　關鍵詞：暴雨強度公式；統計參數；頻率分析；二元插值理論 ；最小二乘法適線
　　中圖分類號：TU832.6
　　文獻標識碼：C
　　文章編號： 1000-4602(2001)01-0040-03

　　在編制城市暴雨強度公式時，從各歷時降雨強度數列表得到降雨強度—降雨歷時—重現期( 即I-t-P)數據關系表，一般有兩種方法：①經驗頻率法；②用某種理論或經驗的頻率曲線對各歷時降雨強度數列中的經驗數據進行調整，再得出I-t-P表。皮爾遜—Ⅲ型分布曲線3個待定參數(均值x、離差系數Cv和偏差系數Cs)的確定通常采用矩法、極大似然法和適線法，其中適線法又包括試錯適線法、三點(或五點)適線法、最小二乘法適線等。實際工作中發現矩法誤差大，極大似然法試算結果的敏感度不強，計算繁雜，有時還得不到合理的共解，再者系列中最小值對估計參數影響極大，故水文數據不齊全，一般不隨便使用。適線法中的三點法除受計算者的主觀因素影響外，在數據點較多較散亂時，結果往往不理想，曲線遠離經驗頻率點；試錯適線法要人為修改3個參數，往往受計算者的主觀因素影響含一定的經驗性，特別是曲線的外延部分差別更大，加之在以往的適線法中，離均系數Φ是人為直線內插所得，計算煩瑣，精度不高，從而給參數確定帶來一定的困難。為解決這一困難，在計算機的輔助下，應用二元插值及最小二乘法聯合求解，從而可確定三參數。

　　1 皮爾遜—Ⅲ型分布理論

　　皮爾遜—Ⅲ型分布的密度函數為：

　　式中α、β、α0經適當換算，可以用3個統計參數x、Cv、C s表示：

　　皮爾遜—Ⅲ型分布曲線見圖1。通過頻率分析，可求出相應于指定頻率(P%)的數值xp。

圖1 皮爾遜—Ⅲ型分布曲線圖

　　令t=β(x-α0)，用代換積分法得：

　　由式(4)可知，當P已知時，tP僅依賴于α或Cs(因α= 4C2s)，將式(2)代入tP=β(xP-α0)得：

　　式中　Φ—— 離均系數
  　　　　　xP—— 由分布曲線得出的暴雨強度
　　當已知P及Cs后，tP可求，則：

　　因此，在已知x、Cv或Cs的條件下，頻率曲線(P與xP的關系)就能繪制出，從而可得到(I-t-P)數據表。

　　2  三參數(x、Cv、Cs)的確定

　　2.1(P，Cs) —Φ值表細化及擴展
　　用皮爾遜—Ⅲ型曲線擬合時，影響擬合精度的主要因素為Φ值，因此選用二元三點插值 方式將(P，Cs)—Φ表細化及擴展。制定所需的(P，Cs)—Φ 表的方法為：
　　設P為x方向，Cs為y方向，Φ為插值點對應的函數值Z(x，y )。已知函數Z(x，y)的第一個變量x的結點為xi(不一定等距，i=0，1 …n)，第二個變量y的結點為yj(不一定等距，j=0，1，…m)，其對 應結點上的函數值為Zij(i=0，1，2…n，j=0，1，2…m)。對于給定的不是結點的值(x，y)，分別選取最靠近x的3個點(xq，x q+1，xq+2)和靠近y的3個點(yu，yu+1 ，yu+2)，用二元三點插值公式計算出相應的Z(x，y)，即 可得到所需的(P，Cs)—Φ表。
　　顯然，插值點分布越均勻越密，其對應的函數值相差越小，插值結果越精確。
　　2.2最小二乘法適線
　　由最小二乘法的原理可知，為使一定歷時段內的經驗頻率點所對應的實測暴雨強 度xi(又稱經驗頻率強度)與理論頻率點所得出的暴雨強度xP(又稱理論頻率強 度)擬合得較好，則只需使經驗頻率強度與理論頻率強度的離差平方總和或數學期望為最 小，即目標函數為：

　　將式(7)代入式(8)得：

　　若已知經驗頻率P′，給定一個Cs，由二元三點插值法可得與之相應的Φ值 ，由式(10)可解出Cv。將Cs從0開始，按一定步長Δ增長(Δ可取0.01)，從而 得到不同組(Cs，x，Cv)值，每一組(Cs，x， Cv)值都對應一條皮爾遜—Ⅲ型理論頻率曲線，也對應一個按式(9)計算的R 值，最后選用R值最小的一組(Cs，x，Cv)作為計算結果， 計算流程見圖2。

圖2  計算流程圖

　　3  應用實踐

　　長沙市有連續25 a記錄的雨量資料，根據《室外排水設計規范》規定，每場暴雨取5 、10、15、20、30、45、60、90、120 min等9個歷時段的最大降雨強度，采用年多個樣法 每年取6個最大值，每個歷時的暴雨強度不分年次從大到小排序，選取其中前n(n 一般取4倍年份數)個樣本作為頻率分析的基礎資料。經驗頻率按P′＝m 1+n 計算(m為序號)，編制出采取矩法、試錯適線法、三點適線法及筆者的方法確 定皮爾遜—Ⅲ型分布統計參數及相應的暴雨強度公式參數的應用程序，計算結果 見表1。由繪圖模塊在海森幾率格紙上繪制出各方法求得的理論頻率曲線與經驗點的擬合情 況(見圖3～4)。

  　　從表1可知，在擬合準則及比較指標均相同的條件下，無論σ絕還是σ總絕， 筆者的方法均優于試錯適線法。由圖3、4可見，筆者的方法與經驗點的擬合情況最好。

圖3皮爾遜—Ⅲ型理論頻率曲線( 筆者的方法)	圖4皮爾遜—Ⅲ型理論頻率曲線( 試錯適線法)

　　4  結語

　　通過確定皮爾遜—Ⅲ型分布統計參數嚴謹的數學過程推求，結合長沙市的具體實踐驗證 ，得出如下結論：
　　①筆者的方法由計算機自動調整參數Cs，減少了人為因素的影響。
　　②該計算方法簡單、速度快、精度高、適線較好，在推求長沙市暴雨強度公式 的實踐中證明是合理可行的，可用于城市暴雨強度理論頻率曲線的計算。

　　參考文獻：
　　［1］金光淡.水文統計原理與方法［M］.北京：中國工業出版社，1964.
　　［2］鄧建中，葛仁杰.計算方法［M］.西安：西安交通大學出版社，1985.
　　［3］范鳴玉，張瑩.最優化基礎［M］.北京：清華大學出版社，1982.

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　　收稿日期：2000-10-09