段煥豐　 俞國平　 俞海寧
（同濟大學 環境科學與工程學院，上海 200092）

　　摘要：介紹了基于模式識別和時間序列方法相結合的模型來預測城市時用水量。將每天的水量需求模式分為“上升(快速和緩慢)”、“波動”和“下降”三個或四個連續反復的狀態，即連續的馬爾可夫狀態。并分別利用低次積分自回歸－移動平均模型(ARIMA) 來擬合預測。實例結果表明該模型能夠準確預測未來幾天的時用水量，并且可以實時操作，簡單易行。
　　關鍵詞：模式識別；時間序列；時用水量；預測；積分自回歸－移動平均模型

Pattern Recognition and Time Series Analysis Models for Forecasting Urban Hourly Water Demands

Duan Huanfeng; Yu Guoping; Yu Haining
(School of Environmental Science and Engineering, Tongji University, Shanghai 200092)

　　Abstract： Hourly water-demand data is forecasted with a model based on a combination of pattern recognition and time series analysis. There or four repeating states are observed in the daily demand pattern: “Rising (slow or rapid),” “Oscillating,” and “Falling,” which are defined as successive states of a Markov process; and low-order auto-regressive integrated moving average models (ARIMA) fitted to each segment. An example followed shows that the model can be used to forecast hourly demands for a period of one to several days ahead, and the forecast can be performed in real time easily.
　　Keywords：pattern recognition; time series analysis; hourly water-demand; forecast; low-order auto-regressive integrated moving average (ARIMA) models

　　城市配水系統在線作業控制的任務是為該系統制定和執行某一計劃方案。其目的就是在最小費用的目標下滿足用水量需求，即最優運行操作方案。一般來說，由于配水系統的許多運行工作都是以一天（24小時）為周期，其運行方案須至少提前24小時就制定好。而制定該最優運行方案的前提條件就是要準確預測出整個方案期間的時用水量。因此，時用水量的預測對配水系統的經濟運行有著重要的意義。
　　用來預測用水量的方法主要有：時間序列法，神經網絡法及灰色理論模型法等等。從實踐經驗來看，單純的神經網絡法和灰色理論模型法需要的歷史數據較多并且更適用于中長期的宏觀水量預測，而時間序列法在預測時用水量時將產生較大誤差，特別是預測期越遠其誤差就越大。對此，本文提出一種模式識別與時間序列相結合的預測方法來提高預測的準確度。

1.基本思想

　　一天中需水量的變化取決于許多因素，如溫度，濕度，距上次下雨的時間間隔以及一周中的第幾天等等。然而，我們從實踐中許多實例的考察可以看出某些天中的用水需求曲線模式有顯著的相似。一般來說，每天用水量曲線總的趨勢都是在晚上較低，從早上開始上升，一直達到最高并有波動，然后又下降。這些變化部分的過渡或者是各部分的曲線形狀將隨用水對象的不同而不同。但是，我們可以將每天的模式劃分為“上升”、“波動”和“下降”三個部分或狀態，下面我們所要討論的模型將基于此，然后確定各部分的過渡點并且為每個部分構造時間序列模型。
　　本文將在Mottl’ (1983)提出的模式識別原理方法的基礎上，假設以上各部分的需求模式是一個隨機過程，并且它們之間的過渡是一個馬爾可夫鏈，而在各部分內部則是一個自回歸過程。該預測方法包括一下步驟：
　　（1）假設：同上，假設每天的水量需求通常分為三個狀態。如果有必要，可以將“上升”狀態分為“緩慢上升”和“快速上升”兩個狀態，從而使整體形成四個狀態，這樣可以進一步提高預測的精度。
　　（2）模式的學習訓練：根據人工智能方面的模式學習原理，輸入必要的需求數據（部分數據），對上述三種或者四種狀態模式進行自我訓練學習，計算出各部分狀態之間的過渡概率以及每部分狀態中自回歸模型的參數初試值。
　　（3）模式識別：利用所有的需求數據集合，計算出最優參數值，包括各狀態的事后概率、各狀態之間的過渡概率以及自回歸模型參數的最優值。
　　（4）預測：利用上述得出的各狀態的事后概率和自回歸模型來預測未來一天的用水量。
　　該預測模型中所用數據最好是連續監測數據，并且數量適度即可。

2.預測模型的建立

2.1 需求模型
　　由上述，各水量需求看作是一個隨機過程，并且重復三個狀態過程；從一個狀態過渡到另一個狀態是一個馬爾可夫鏈。因此，每個狀態的長度是隨機的。
　　設v_t(t=…-1，0，1，2…)為時刻t需求曲線的狀態，并且v_t=1，…m 取整數值，則從一個狀態到下一個狀態的過渡概率為

　　　　　　　　　 　　　　　　　　（1）

　　在時刻t，需水量x_t是一個標準的n次自回歸過程：

　　　　　　　　　　　　　（2）

　　　　 其中：_{ct=(c0t，c1t，……，cnt)}為一組與時間有關的系數向量；
　　　　　ζ_t為具有零期望值和單位方差的標準變量；
　　　　　b_t為離散白噪聲的標準偏差，與時間有關。

　　又設在（2）中的參數向量θ_t=(c_t，b_t)，在任何時刻t 都能假設1 到m之間的值_k ，并設v_t=k，k=1，…m 則。自回歸模型的次序m 可以允許在各部分之間變化，這樣可以為模型的適應度帶來更大的靈活性。假設有數據X₁^N=(x₁，…x_N)，我們將利用該數據來解決以下兩個相關的問題：
　　1） 估計參數P，θ^l，…，θ^m；
　　2） 確定在時刻t 的任一點的狀態V₁^N=(v₁，…v_N) 。
　　根據Yacovlev 和Vorob’yov (1986)提出的極大可能方法原理，則有：

　　 　　　　　 （3）

　　其中，f(X_l^N|P，θ^l，…，θ^m) 為向量X_l^N 的條件概率密度。
　　上述過程為一個反復遞推的計算過程，其主要的特點和計算過程如下：

　　1)logf(X_l^N|P，θ^l，…，θ^m) 為單調不減；
　　2) 參數P^*，θ^l‘，…，θ^{m ‘} 的估計滿足：

　　 （4）

　　即f(X_l^N|P，θ^l，…，θ^m) 的一個局部極大值點。

　　其遞推方程為：

　　 　　 （5）

　　 　　　　　　　　　　　　　　 （6）

　　并且：

　　 （7）

　　其中：p(v_t=k|X_l^N，P_s，θ_s^l，…，θ_s^m) 為在時刻t狀態_k下過程x_t 的事后概率，對其估計按照馬爾可夫鏈的性質及式（7）來進行計算。
　　對上述每一步遞推，都要滿足式（4），以收斂到某一期望值。
　　由條件概率的性質有：

　　 　　　　　（8）

　　根據Yacovlev 和Vorob’yov (1986)有：

　　 　　　　（9）

　　由上述（1）～（9）式，我們即可以對模型（1）和（2）的參數P，θ^l，…，^m 進行估計，其具體的算法步驟敘述如下。
2.2 模型的求解
　　上文已對預測模型進行了詳細說明，現對該模型進行求解，主要步驟如下：
2.2.1模式學習訓練：
　　1） 檢查所給樣本數據，得出m 和N值，一般m=3 or 4 ；N>200-300 ；
　　2） 選出部分樣本數據，設N₁個，且N₁<<N ；
　　3） 根據樣本數據頻率計算過渡概率初試矩陣：
　　 　　　　　 （10）

　　其中，t=1，…，N_l，并任意設

　　 　　（11）

　　4）根據（5）計算θ_l^k=k，k=1，…m，并計算（6）、（7）和（8）式，這些計算均是對t=1，…，N_l而言。

2.2.2模式識別

　　這部分計算均是對所有的樣本數據t=1，…，N ：
　　1）計算事后概率 （12）

　　k=1，…m

　　2）根據（5）和（6）式計算和。

　　這部分計算是一個重復遞推過程，直到滿足局部最優可行解的條件。在計算過程中定義一個誤差函數和相對應的真值函數，使得誤差函數值最小。

　　其中λ(k,k)=0；λ(k,l)=1；k,l=1，…，m，且k≠1　　　　　　（15）

　　以上的計算過程中，在特殊情況下可以通過引入動態規劃法進行最小化修正詳見文獻。

2.2.3預測
　　1） 狀態預測
　　由上述算法得到了各個時刻每個狀態的事后概率，運用積分自回歸－移動平均模型（ARIMA）來進行預測。在一天內（T＝24h）的模型形式為：

　　 　　　　　　　 （16）

　　其中，p_t 為事后概率，看作為隨機過程；ζ_t 同前；B^T 為轉置矩陣（B=x_t-x_t-1）；φ₁，Γ₁，Γ₂為多項式。

　　性能指標：

　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　（17）

　　2） 用水量預測
　　根據上述預測模型對未來用水量進行預測，可以分別利用三個和四個狀態模型進行預測，顯然，四個狀態的模型比三個狀態的模型精度高，但計算量稍大。本文核心計算模塊程序采用C++語言編寫，以提高效率。其預測效果詳見實例。

3.應用

　　根據某城市配水系統1999年夏的兩個月（6.1日～7.31日）的實測時用水量數據來進行預測。整個中心城區的服務總人口約20萬，平均日用水量為2.2萬m³。由于篇幅限制其原始數據省略。通過上述模型訓練與模式識別來進行未來用水量的預測。本文僅就上文中的四態模型進行預測，三態模型的預測原理過程同樣可得。圖1中給出了對未來五天（8.1日～8.5日）的時用水量預測結果。圖中還同時給出了真實用水量值以進行比較。
　　表1則給出了對未來一個月(8月份)的日用水總量的預測結果及模型誤差。從圖1中可以看到時用水量曲線與實際曲線的擬合程度很高，表1則說明了該方法的預測累計誤差很小，對配水系統的在線實時預測的精度很高。

圖1 四態模型24小時用水量的預測曲線
Fig.1 Four state model demand forecasting curve for 24h ahead

表1 四態模型對八月份用水量的預測值
Tab.1 Evaluation of four state model’s forecast for August

4. 結語

　　通過對預測模型的理論推導和實例應用，我們可以看出該模型方法誤差很小。盡管它在理論推導有些繁瑣，但是，在實際中，通過模塊化編程形成計算軟件，其應用非常簡單，特別適用于實時連續監測系統；而且它能夠在個人計算機上只需很短時間的運行即可得到較為精確的結果。因此，該預測方法在給水系統的最優運行中具有很大實用經濟價值。當然，對于某些很小的城鎮配水系統，由于其用水變化很大，甚至單個用戶用水對整個系統都有影響，該方法則難以精確預測，這也仍需進一步探討。

參考文獻

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作者簡介 段煥豐，男，1982年生，安徽安慶人，碩士研究生，主要從事市政工程設計與運行最優化方向的研究。
　　　　 俞國平，男，同濟大學教授，從事運行調度優化研究。
　　　　　俞海寧，女，碩士研究生。
第一作者通訊地址：上海市武東路100號同濟大學滬東校區0336#信箱　　　　 郵編：200433
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