郭智 鄭毅
天津市自來水集團有限公司

　　隨著優化數學和現代數學的發展，數學模型在專業領域中的應用越來越廣泛，往往由于資金或其它實際條件等原因的限制，人們不可能靠試驗獲得所有數據，而只能在少量數據的基礎上，建立數學模型，通過求解數學模型來獲得所需數據。

1、模型校核問題描述

　　給水管網系統用模型表示出來，用于現狀分析、優化調度及改擴建規劃等。在模型使用之前，必須確保模型在一定精度范圍內與實際管網相吻合，這一過程稱為模型校核。Shamir和Howard （1977）認為：校核包括確定系統的靜態和動態特性，確保數據輸入后得到真實的結果。Cesario和Davis（1984）給出了一個模型校校的定義：校核就是一個微調模型直到模型在一定精度范圍內能仿真某一工況卞的實際管網特性（如：最高時）的過程。Walski（1983）給校核下了一個準確的定義：校核是一個分兩步走的過程，包括（1）比較已知運行條件下（包括水泵運行工況、水池水位、減壓閥的狀態）壓力和流量的模擬值與測量值；（2）調整模型輸入數據，使得模擬值與觀測值在一定精度范圍內吻合，模型的合理性判斷依據是測試點水頭的模擬值和觀測值之間的偏差。
　　總體來說，模型校核就是依靠城市給水管網系統監測點信息與模擬信息的吻合程度調整節點流量、C值或其他參數反復平差計算。

2、校核模型的建立

　　A模型的構思
　　無論采用什么方法來消除測壓點處的壓差，都應使被調整值盡可能符合實際情況為前提。如果假設管網水力計算中的公式和管網簡化圖形是準確的，那么通過分析可知，產生壓力不一致的原因必然是節點流量q和摩阻系數S不準確導致的。也就是說，測壓點處壓力的計算和實測值的差值是與各節點流量和各管段摩阻有關。各節點流量和各管段摩阻的調整值本質上應該是由它們的計算值和實際值的差異決定的。只有這樣的調整才能既消除測壓點處的壓差，同時又符合管網的實際情況，這是本文對給水管網進行模型校核的基本出發點。
　　從另一個角度看，不論是用公式計算得到的節點流量，還是用試驗得到的阻力系數C值，都是在前人的實踐中反復摸索或反復試驗中得到的。從這個角度看，對它們的調整值并不是越多越好，恰恰相反，而是應盡量調整得少而效果最好。
　　另外，考慮到實際工作中實測壓力時的具體條件和具體情況，本文認為壓力是實測，但是也有一定的誤差，所以在進行復核計算時，當測壓點處的壓差降到一定限度之內時，計算便停止了。若要完全消除，顯然沒有實際意義。
B 模型的建立
　　在進行了管網的水力計算后，測壓點處的實測值和計算值將有一定壓力差，復核計算的數學模型的最終目的，是在盡可能符合實際情況的前提卜，將測壓點處壓差處壓差降到一定限度以內。另外，調整q和C后，管網水平平衡必須滿足。
　　為減少變量，同 年代同一管徑的管段采用同一C值?；谝陨戏治龊妥钚《嗽?，提出單負荷管網模式復核的數學模型：

　　　　　　　　　　

　　目標函數中；
　　D₁——所有節點流量的總系數，計算時取某一常數；
　　D₂——所有C值的總系數，計算時取某一常數；
　　K_qi——第i個節點的流量加權系數，一般取1；
　　K_ci——第i種類型C值的加權系數，般取1；
　　q_i——節點流量的當前值；
　　q_i⁰——按節點流量公式計算得到的節點流量，常量：
　　c_i——管段摩阻當前值，同年代同管徑的管段采用同一個值，計算過程為變量；
　　C_i⁰——按試驗得到的阻力系數，常量。
　　約束條件中(1)為節點方程組，
　　（2）中：H_k為第k個測壓點的模擬值；
　　　　　　H_k測為第k個測壓點的測量值；
　　　　　 ε為計算值和測量值的允許限度；
　　（3）中：n為測壓點個數。
　　模型的意義在于：在保證水力平衡條件下，在各節點流量和管段摩阻的變化成調整最小的情況下，使被測壓點處壓差．降到允許限度以內?！?br> 　　C 模型的簡化
　　從以上可知，目標函數和約束條件都出現了非線性的情況，是一個帶約束的非線性規劃問題，求解過于復雜。為簡化，先將問題化為無約束問題。將（2）代入（1）；將（3）采用外懲罰函數的辦法，將各個等式乘以一個相應的罰出于，加到目標函數中去，這樣，就轉化為一個求無約束極值問題了。其模型如下：

　　　　
　中：D3———罰函數因子；
　　　　kHk——各測壓點處的加權系數。
　　1）模型中的參數分析
　　D₁可以在總體上控制節點流量的變化；D₂可以在總體上控制管段摩阻的變化。kqi，kci無特殊情況一般取1；kHk可以控制不同測壓點的權重系數。由于q和c的變化在同一個數量級上，因而D₁、D₂取同一數量級。應當注意的是，個別節點的節省流量等于0或趨近于0時，應改為絕對值的平方差，而非相對值。
　　2）模型的求解
　　對這類復雜問題的求解，常需要使用搜索法，并要進行若干次迭代、解非線性極值問題的迭代法大體上可分為兩類：第一類要用到函數的數，由于用到了函數的解析性質，故稱之為解析法；第二類僅用到函數值而不要求函數的解析性質，稱之為直接法。一般
來說，直接法的收斂較慢，只在變量較少時才用。
　　這里采用共軛梯度法，共軛梯度法是一個二次收斂算法，在函數二次性較強的區域內有較好的效果。由于問題的不適定性，將C和q值單獨調整。
　　a．共軛梯度法簡介
　　共軛梯度法的最大優點是在極值點附近能加快收斂的速度，它是共軛方向法的一種。
　　為了既能避免 Hesse矩陣的計算又能生成共軛方向，人們提出了多種，其中Fletcher和Reeves提出的方法，簡稱為F-R法，使用方便且有效，故本文采用F-R法。關于F-R法的推導在許多書籍上都有介紹，本人在此就不陳述了。只將其結論寫出：共軛方向為該次的負梯度方向與上次搜索方向的線性組合。即：

　　　　　　　P^（i+1)=-G⁽ⁱ⁺¹⁾+B⁽ⁱ⁾P⁽ⁱ⁾
　　　　　　　其中：B(i)=[G^（i+1)]T.G^（i+1)/[G^（i)].G^（i)) 　　i=0,1,2,...

　　在共軛梯度法進行迭代的第一步，取負梯度方向為搜索方向。即S（0）=-f(X⁽⁰⁾),而以后各步的搜索方向為上次搜索的共軛方向。共軛梯度法的迭代步驟如下：

　　　　<1>給定X^（0），并令S^（0）=-f(X^（0）);
　　　　<2>對于K=0，1，2...,n-1
　　　　i.若‖f(X^(k)<=X^(k))‖＜ε，則終止迭代，否則
　　　　ii.令X^（K+1）=X（k）+λk.S^(k)
　　　　　　式中λk與f(X^(k)+λS^（k））取極小值
　　　　iii.當K<n-1時，令S^(k+1)=-f(X^(k-1)+Bk.S^{(k)
　　　　　　　<3> 　以X（k=1)代替X（k），并回到第<1>步。}
　　 若n維目標函數為二次函數，則利用共軛梯度法，理論上只要經過n次迭代即可達到最小點。但在實際計算中，由于舍入誤差的原因，總要進行n次以上的迭代才能得到滿意的結果。對于非二次函數，迭代的次數當然更多。但n維問題的共軛方向最多只有n個，在迭代了n次以后，繼續進行是沒有意義的。同時，舍入誤差的積累也越來越多，對收斂不利。因此，在實際應用時，當計算進行了n次得到X（n）后，采取重新開始迭代的方法。由于算法的第一個搜索方向為最速下降方向，因此有助于突破目標函數的非二
次性，同時也可減少誤差的積累。
　　一維搜索時采用伸縮法。
　　延伸收縮法-維搜索簡介：

　　如1所示，設f[x]為x的一元函數，設一維搜索的起始點為X（0）=Q[i]，則搜索方向上的其余各點可記為X＝Q[i+∑k]。其中k＝1，2，4，8，…稱為加倍步長因子。
　　先計算f[Q[i]]、f[Q[i＋1]]，若f[Q[i]＞f[Q[i+1]]，且X=Q[i+1]∈D，則將步長加長兩倍，計算f[Q[i＋3]]，若 f[Q[i＋1]]＞f[Q[i+3]]，且X=Q[i+3]∈D，則將步長再加長兩倍，并重復前述運算，否則，按以下規則收縮。
　　設當前的停留點為X，此點已越出可行域外，或者目標函數已比前一點增加，k(r)是最后一次搜索的步長因子。上標r為搜索延伸的次數，則當前離散點的下標為

　　　　　　　　

　　收縮離散點可表示為

　　　　　　　　

　　式中 N——k^（r-1)和k^(r)間隔的收縮次數；
　　　　　I<a>——取a的整數部分。
　　在收縮時每收縮一次后的新點均需檢驗目標函數和該點是否可行，－R兩者均能滿足時，則停止收縮。如圖1所示，r＝4，k⁽⁴⁾＝8，N=2，k^(r)階段的收縮終止點為x＝Q[i+9]。收縮過程如圖中虛線所示。
　　在得到k（r)階段的收縮終止點后，再從此點開始重復前述延伸收縮運算。
　　延伸收縮的終止準則是，當收縮終止點與收縮區間的起始點重合時，離散一維搜索結束。若終止點異于X（0），則離散一維搜索成功，否則認為搜索失敗，這時就取X^（0）為當前一維搜索的終止點。
　　如果開始時 f[Q[i]]＜f[Q[i+1]，且x＝Q[i+1]∈D，則將k變號，即按X=Q[i-∑k]方向搜索，其余步驟相同。
　　如果是多元離散變量的函數，按式（4）和式（5）進行延伸收縮的一維搜索時，沿-M方向只對Xd分量進行搜索。
　　b．算法在本模型中的應用
　　　　流程圖

3、模型校核應用
　　天津市供水管網115個壓力監測點24小時統計結果見表1。

表1 壓力監測點24小時統計結果

壓力監測點誤差 ＜1m ＜2m ＜3m 數據總數 1766 2488 2760 百分比 64.0% 88.0% 100%

　　13個流量監測點24小時統計結果見表2。

表2 流量監測點24小時統計結果

流量監測點誤差 ＜5%管段流量 ＜10%管段流量 ＜12%管段流量 數據總數 187 309 312 百分比 60% 99% 100%

　　流量誤差大于川％的均為凌莊五干，該干管管段流量小于天津市用水量的1.5%。這說明按百分比誤差來說其誤差較大，但按實際誤差值來說，其設并不大。
　　水廠出水量24小時計算結果統計見表3。

表3 水廠出水量24小時統計結果

計算值與測定值的差值 ＜1%水廠出水量 ＜2%水廠出水量 ＜6%水廠出水量 芥園 41.7% 79.2% 100% 新開河 37.5% 75.0% 100% 凌莊 45.8% 83.3% 100%

　　由上可見，經過模量校核，壓力和流量誤差，均在給定允許范圍之內，模型完全可以用于實際工程應用。
模型校核是管網建模的關鍵一環，也是比較復雜、比較困難的一環；問時也是對模型的實用性影響最大的一環。模型校核過程同時也是對管網圖形庫、數據庫的進一步校核、檢驗修改完善的過程。模型校核過程還是一個不斷反復更新完善的過程。對于大津市這樣的大型供水管網系統，每年都新增大量的管線，去掉一些舊管線、管網拓撲結構的變化，必須及時地反映到模型中。另外，水源的變化、大量戶位置的變化，用戶用水模式的變化，管網操作條件的變化等，都應在模型中做相應的修改，經常進行模型的維護、更新和擴展工作。

4、結論

　　在數據精度分析的基礎上，以最優化方法作為模型校核的基本方法。通過簡化校核工況、調整管道阻力系數及節點流量闡明了宏觀與微觀相結合模型校核的過程與意義。并以天津市供水管網128個測試點的實測壓力與流量時間序列數據，對新建立的動態模型進行了校核，達到了精度的要求。