魏寶成，袁一星，郭爽
（哈爾濱工業大學給水排水系統研究室）

　　摘要：本文介紹了給水管網水力模擬計算的算法，以及提高水力模擬計算軟件計算速度的方法。
　　關鍵詞：給水管網；水力模擬

Optimization of Simulation Algorithm in Water Supply Network
Wei baocheng, Yun yixing, Guo Shuang
(Workgroup of Water & Wastewater System, Harbin Institute of Technology)

　　Abstract: This paper describes the algorithm of water supply net1work simulation and the method to accelerate the calculation of water supply network simulation software.
　　Key words: water supply network; hydraulic simulation

　　在供水綜合管理信息系統中，供水管網的水力模擬計算軟件處在一個非常關鍵的位置，是整個系統的“核心”所在。
　　由于城市規模的擴大，供水管網的規模也越來越大，管網計算的運算量也越來越大，以往的計算程序在計算幾十個節點的管網時還能勝任，而當進行幾百、幾千、甚至上萬個節點的大規模管網時，其速度就變得無法令人忍受。另外在現代數學中，有很多優化理論，單從理論本身出發是可以應用于供水管網的優化計算、實時調度方面，但由于管網信息量大，管網模擬計算軟件的速度較慢，進行一次計算，往往需要幾個小時、幾天，這樣的計算結果對指導實踐是沒有實際意義的，因此提高供水管網水力計算的速度是一個重要的課題。

1、理論基礎

　　對給水管網進行水力模擬總是聯立求解連續性方程、能量方程和壓降方程。其中解節點方程是聯立壓降方程和連續性方程，是現在多數水力計算程序采用的算法。
　　所謂連續性方程，就是對任一節點來說，流向該節點的流量必須等于從該節點流出的流量。

　　　　　Q_i+Σq_ij=0

將管段的壓降方程代入連續性方程，則任意一個節點的連續性方程可寫成：

　　

　　式中指數α=0.54，Ｍ為節點數(不包括已知節點)，q_i為節點流量(m³/s)。式中l表示管段號，i,j表示管段l的上下游節點標號，所謂上下游是這樣規定的，管段l的計算流向（參考流向）是從節點i流向節點j的。
　　這是一個非線形方程組，不能直接得到其解析解。解非線形方程組比較困難，方法有多種，比較常用的是牛頓-拉斐森方法。
記E為以E_i為分量的向量，f為以f_i分量的向量，在E的領域內可進行泰勒級數展開：

　　

　　偏導數構成的矩陣是雅可比(Jacobian)矩陣J

　　

　　可以得到：

　　

　　

　　忽略高階項，并置F(E+δE)=0,將可得到一個關于修正項δE的線性方程組。即

　　　　J·δE=-F

　　其中δE可使每個函數都同時接近于零。
　　整個這一過程就是非線形方程組的“線形化”過程，可變化成解一個線性方程組，并將求出的修正項加到解向量中：

　　　　E_new=E_old+δE

　　這個過程不斷迭代，直到收斂為止。

2算法的優化

2.1系統選用了高效的算法
　　1.牛頓法雖然已經不能算是一個新算法，但它在收斂速度上有著無可比擬的優勢，并且后面我們提到，可以對它適當改造，來克服它自身的缺點。
　　2.改進平方根法是解線性方程組直接解法中速度最快的一種，由于其很好的利用了連續性方程雅可比矩陣的性質，使它在求解這一方程時，具有很高的效率，其求解效率幾乎是高斯法的兩倍，并且可以很好的與數據壓縮算法共同工作。
　　3.共軛梯度法是是解線性方程組迭代解法中較好的一種，其算法穩定收斂快，并且可以進一步節省內存，當管網的規模超大，直接解法不能運算時，它是一種很好的補充；在一般規模的管網下，也可結合直接解法，使迭代的速度加快。
2.2牛頓步長因子的改進
　　牛頓法是求解非線形方程組的一個經典方法，由于其收斂快，因此直到現在它仍然是一個重要方法，很多新的算法都是對它的改進。但它的問題也是很明顯的，就是當初值選擇不好時，它有可能不收斂。而初值的選擇往往具有隨意性，這樣計算往往是發散的。
　　為解決這一問題，迭代公式中加入步長因子λ，這樣迭代公式就變成了

　　E_new=E_old+λδE

　　步長因子λ控制迭代收斂的速度也影響著模型是否收斂，本文作者通過對步長因子λ的處理使整個迭代過程即保證收斂而且收斂較快。
2.3數據的壓縮存儲
　　供水管網方程的連續性方程的雅可比矩陣的階數是很高的。計算數據占用的計算機內存非常驚人的，如果不對雅克比矩陣進行壓縮，可能將導致計算不能進行。同時該矩陣具有對稱性、正定性、帶狀性、稀疏性的特點，進行矩陣壓縮是可行的。通過對矩陣的壓縮也可使參與計算的數據量減小，從而提高計算的速度。作者采用的是一維變代寬存儲壓縮技術。
2.4優化帶寬
　　用一維變帶寬算法存儲雅可比矩陣，矩陣的帶寬和節點的編號有關，管段的起止節點編號差越大，雅可比矩陣的半帶寬也越大，解方程組的效率也越低，如果帶寬太大而導致三角塊無法存儲，求解也就無法進行。為了提高解方程的效率，在進行節點編號時，要使節點差盡量的小。但如果這部分工作用手工完成，將花費大量的精力。所以要采用自動編號來對帶寬進行優化。
本文作者采用有限單元理論中的優化編號方法，自動進行節點編號，對帶寬進行優化。使數據的存儲量變到最小，對提高計算速度起到十分明顯的作用。
2.5管網簡化
　　前面提到供水管網連續性方程的階數是很高的，求解這一方程的計算量和階數的立方成正比，也就是說如果管網中節點的個數增加到原來的2倍，其計算量幾乎增加到原來的8倍，因此如何能等效簡化管網是一個非常有意義的課題。
　　1．支狀管網簡化。供水管網中有許多支狀管網，根據流體力學的計算理論，這些管段完全可以簡化掉，而且并不影響管網模擬計算的精度。
　　2．環狀管網簡化。環狀管網簡化比較復雜，會導致一定誤差。在允許誤差范圍內簡化環狀管網是一個很新的課題。國外有些研究單位可以將一個復雜管網簡化到只有幾十個節點的程度，誤差還不大，這種技術主要應用在優化調度領域。
本文作者通過編寫計算機程序實現了對管網數據自動進行支狀的簡化。這種簡化不影響計算結果，當管網中支狀管數量較多時，通過這種處理后，水力模擬計算速度的提高是十分明顯的。
2.6管網數據檢查
　　平差計算時，錄入數據常常發生錯誤，如編號錯誤、遺漏節點管段等，這將直接直接影響導致網絡拓撲結構的變化，當網絡很復雜，查找錯誤將變得很困難，因此編寫了自動檢查錯誤程序。
　　供水管網的拓撲結構是一張圖，用圖論中圖的遍歷算法可發現圖紙中拓撲結構的錯誤。通常有兩條遍歷圖的路徑，深度優先搜索和廣度優先搜索。本文作者采用的是深度優先搜索算法。
2.7數據結構的優化
　　進行上訴算法的優化必須以較好得數據結構為基礎，作者編寫的計算程序中用面向對向的編程方法對數據結構實現了動態描述。通過這種數據結構的建立，可實現對數據的快速排序和查找，并能保證上訴優化算法快速實現。
除此以外，計算程序中添加了計算結果的匯總分析功能，可生成詳盡的結果報告。

3計算結果檢驗

3.1計算結果的正確性檢查
　　為驗證計算結果的正確性，用3個相同的算例，不同的程序對它進行了計算，對計算結果進行了比較，其計算結果符合的非常好。這3個算例，一個是自己設計的(53個節點，78條管段)；一個是公主嶺的管網(312個節點，386條管段)；一個是天津市供水管網(3435個節點，4498條管段)。選用的對比程序有3個，一個是LOOP(世界銀行貸款資助的軟件);一個是WM5(國外知名水力模擬軟件，全名WaterMan ver5.0);另外一個是國內的一個優秀計算軟件WQR。計算結果之間的差別是很小的，主要是選取有效數字位數不同或采用的計算公式不同造成的。

數據 WQR WM5程序 Loop程序 小例子 0.1% 0.1% 0.4% 公主嶺管網 0.2% 0.2% 0.5% 天津管網 0.4% - -

3.2優化編號的作用
　　對于前兩個算例，計算速度很難進行比較，因為計算的時間太短了，但采用共軛梯度法的計算程序，在管網規模不是很大時，其計算計算速度十分快，原因是方程階數低造成的管網初值與正確解比較接近，使共軛梯度法的收斂速度得到充分的發揮。管網規模擴大時，由于LOOP和WM5都不能求解，所以只能與WQR程序進行對比。計算天津管網，WQR程序需要150秒，而這個程序只需要22秒。速度的提升是明顯的，而且在理論上，管網的規模越大，其速度比將越大。

項目 優化編號前 優化編號后 計算時間 122 22

3.3支狀管網簡化
　　支狀管網簡化的效果根據網絡的拓撲結構的不同而不同。由于數據結構的優化，進行簡化的過程很短，對于天津這樣大型的管網花費的時間在0.5秒左右。

數據 原計算節點數 簡化后計算節點數 計算速度提高率 小例子 49 49 0 公主嶺管網 290 216 30% 天津管網 3435 2645 18.5%

　　支狀管網的簡化可以進一步縮小總帶寬，以天津管網為例，簡化后其總帶寬由20萬左右縮小為15萬左右，使計算速度進一步提高，由22秒減少到不到18秒。
3.4計算時間對比
　　通過對算法的多方面優化，系統計算速度得到明顯的提高，與測試程序相比較其計算速度都有較大的優勢。

數據 本程序 WQR程序 Loop程序 WM5程序 小例子 0.05 0.77 1.5 0.51 公主嶺管網 0.11 2.12 10 1.44 天津管網 17.93 150.22 - -

　　(以上測試均是在聯想Pentium 300內存64M的筆記本計算機上完成的。)

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作者簡介：
魏寶成 講師 哈爾濱工業大學市政環境工程學院
通 訊 處： 150090 哈爾濱工業大學（二區）624#信箱
電話：0451-6282281
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