信昆侖 劉遂慶
（同濟(jì)大學(xué)環(huán)境科學(xué)與工程學(xué)院）

　　摘要 本文介紹了城市給水管網(wǎng)三維水壓面圖的繪制方法，基于管網(wǎng)水力計(jì)算成果，通過管網(wǎng)投影區(qū)域的四邊形網(wǎng)格插值，利用OpenGL圖形庫，進(jìn)行了管網(wǎng)三維水壓面的繪制，可用作給水管網(wǎng)設(shè)計(jì)、運(yùn)行和優(yōu)化調(diào)度時(shí)的信息參考。
　　關(guān)鍵詞 給水管網(wǎng) 曲面插值 水壓面 OpenGL

　　城市給水管網(wǎng)中水壓面的分布對于了解管網(wǎng)工作狀況以及管網(wǎng)的運(yùn)行調(diào)度具有十分重要的指導(dǎo)意義。然而,實(shí)際情況下，城市給水管網(wǎng)實(shí)測壓力點(diǎn)往往是有限的數(shù)量，如何全面了解和掌握整個(gè)供水管網(wǎng)的水壓信息則需要基于管網(wǎng)實(shí)測水力要素（包括管網(wǎng)布置，管道長度，管徑等）的水力計(jì)算和相應(yīng)的曲面數(shù)值擬合來完成。
　　獲得管網(wǎng)中各節(jié)點(diǎn)的壓力值是進(jìn)行整個(gè)管網(wǎng)計(jì)算（包括優(yōu)化設(shè)計(jì)、水力模擬、優(yōu)化調(diào)度以及管網(wǎng)校核等）的基礎(chǔ)。目前國內(nèi)外都有相當(dāng)數(shù)量的方法及程序用于管網(wǎng)的水力計(jì)算。對于管網(wǎng)水壓信息的圖形化工作，大多以二維等水壓線或水壓區(qū)域分布圖表示為主。本文基于管網(wǎng)水力計(jì)算結(jié)果通過空間散列點(diǎn)的數(shù)據(jù)擬和技術(shù)，利用OpenGL圖形庫編制程序，進(jìn)行了三維水壓面繪制的嘗試。三維圖形表示較二維圖形表示的優(yōu)點(diǎn)在于更能直觀地反映管網(wǎng)的水壓分布及變化趨勢，具有良好的可視性，對于實(shí)現(xiàn)城市給水管網(wǎng)的全面數(shù)字化和信息化是一個(gè)重要的補(bǔ)充。也是計(jì)算機(jī)可視化與虛擬現(xiàn)實(shí)技術(shù)應(yīng)用于給水管網(wǎng)工程領(lǐng)域的一個(gè)較為適宜的切入點(diǎn)。
　　繪制給水管網(wǎng)的三維水壓面圖涉及應(yīng)用計(jì)算數(shù)學(xué)及計(jì)算機(jī)圖形學(xué)兩大方面的內(nèi)容，以下分別介紹在繪制水壓面圖過程中所用到的曲面插值、曲面擬合、OpenGL圖形庫的知識。

一、 三維散列數(shù)據(jù)點(diǎn)的四邊形網(wǎng)格插值算法

　　由于管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)在幾何圖形學(xué)意義上的分布是不規(guī)則的，而通常三維曲面的繪制要求的點(diǎn)是通過對曲面投影區(qū)域進(jìn)行三角型或四邊形網(wǎng)格化后得到的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，因此需要以管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)為型值點(diǎn)進(jìn)行管網(wǎng)投影區(qū)域的四邊形或三角形網(wǎng)格插值。

　　1．Shepard方法：該方法可用于任意分布的空間數(shù)據(jù)點(diǎn)的插值。插值函數(shù)可顯式寫出。令ρ為平面上某一度量（通常取為距離度量），對定點(diǎn)（x，y），令r_i=ρ((x,y),(x_i,y_i)) 　(i=1,2,...N)　，假定μ為一正實(shí)數(shù)，對散列數(shù)據(jù)點(diǎn)(x_i,y_i,f_i) (i=1,2,...N)，則擬合曲面 Z=f(x,y)表示為下列插值公式：

　　

　　由式（1－1）可以看出當(dāng)（x，y）是非插值點(diǎn)時(shí)，f(x,y)取所有函數(shù)值f_i的權(quán)平均，權(quán)因子1/r_i^μ與（x，y）有關(guān)。對于μ的選擇通常為大于1的常數(shù)。μ如果選擇過大，則型值點(diǎn)附近擬合曲面將變得十分平坦而稀疏分布的點(diǎn)和點(diǎn)之間的曲面將變得十分陡峭。Gordon等人的研究表明選取μ＝2是合適的。

　　2.局部逼近方法：選定R>0,取：

　　

　　易見φ(r)是連續(xù)可微的，并當(dāng)r>R時(shí)恒為0。令，定義下述曲面：

　　

　　該方法較之全局插值方法的合理性在于充分考慮了型值點(diǎn)對周圍區(qū)域的影響不半徑。但R的合理取值需要一定的技巧和實(shí)際問題的處理中獲得的經(jīng)驗(yàn)。

　　二、貝塞爾曲面

　　在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，三維曲面通常是由一系列基本的曲面片經(jīng)過平滑（光順）處理后拼接而成。曲面片時(shí)曲面的基本單元。其中常用的曲面片有孔斯（Koons）曲面、貝塞爾(Bezier)曲面及B樣條曲面等。一個(gè)曲面片是以曲線為邊界的點(diǎn)的集合，這些點(diǎn)的坐標(biāo)可用雙參數(shù)單值函數(shù)表示:

　　　　x=x(u,w),y=y(u,w),z=z(u,w)　　　　　　　　　　　　　　　　（2－1）

　　則曲面片的一般形式為：

　　其中u,w∈ [0,1] 　　　 （2－2）

　　對于貝塞爾曲面，當(dāng)m=n=3時(shí)，該曲面由4×4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的特征多面體決定其形狀，該曲面稱為雙三次Bezier曲面片。其矩陣形式為：

　　　Q(u,w)=F_b(u)PF_b(w)^{T　　　　　　　　(2－3)}

　　其中P為型值點(diǎn)：

　　，

　　圖1描述了貝塞爾曲面片與其控制點(diǎn)多面體的關(guān)系：

　　三、OpenGL圖形庫

　　OpenGL圖形庫是程序員開發(fā)基于圖形的交互式應(yīng)用程序的接口，是由Silicon Graphics(SGI)公司在其GL語言的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。其強(qiáng)大的三維圖形繪制功能極大地減輕了程序開發(fā)人員地編程工作量，而且其日益完善的圖形建模、渲染功能，使計(jì)算機(jī)圖形變得日益豐富和絢麗多彩。OpenGL現(xiàn)在已經(jīng)成為一個(gè)國際標(biāo)準(zhǔn)，被安裝在廣泛的系統(tǒng)上。Windows NT 和Windows98都將其作為基本操作系統(tǒng)的一部分，可以被很方便地調(diào)用。
　　對于三維曲面的繪制而言，OpenGL對初始化繪圖環(huán)境、曲面片繪制與拼接，渲染、材質(zhì)貼圖、線框圖的消隱等一系列復(fù)雜的圖形算法進(jìn)行了封裝，為圖形庫使用者提供了簡捷的函數(shù)接口，籍此我們可以很方便地繪出效果豐富的三維曲面圖形。OpenGL利用二維求值器來完成三維曲面的繪制過程，它為曲面提供控制點(diǎn)，使其能精確繪出曲面上的點(diǎn)、線框圖以及有光照處理的曲面，基本過程如下：
　　1. 調(diào)用glMap2定義二維求值器　　　
　　2. 調(diào)用glEnable的適當(dāng)參數(shù)激活使用二維求值器
　　3. 在glBegin/glEnd之間調(diào)用glEvalcoord2函數(shù)或glMapGrid2、glEvalMesh2函數(shù)繪制線框或渲染圖

　　四、三維水壓面圖的繪制過程

　　對于管網(wǎng)水力計(jì)算后的成果,以節(jié)點(diǎn)水壓值H_i作為管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)(x_i,y_i,H_i)的第三維坐標(biāo)。并以管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)作為型值點(diǎn)在管網(wǎng)平面投影區(qū)域上進(jìn)行Sherpard插值，得到四邊形網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的水壓數(shù)據(jù)。利用四邊形網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)構(gòu)造雙三次Bezier曲面片，將所以曲面片進(jìn)行光順拼接后即得到管網(wǎng)區(qū)域的三維水壓面圖。由于OpenGL圖形庫可以完成除Sherpard插值外的幾乎所有圖形繪制過程，所以，本文使用了OpenGL庫的二維求值器進(jìn)行了水壓面圖的方便繪制 ，圖2為繪出的管網(wǎng)三維水壓面模型的線框圖。

　　由于OpenGL圖形庫的強(qiáng)大的圖形渲染功能，利用OpengGL圖形接口函數(shù)還可以輕松繪制水壓面的渲染圖，如圖3所示：

　　五、結(jié)論和建議

　　通過曲面插值技術(shù)和利用OpenGL圖形庫，可以對管網(wǎng)水力計(jì)算成果的水壓分布進(jìn)行直觀表示和模擬再現(xiàn)，有助于城市給水管網(wǎng)的設(shè)計(jì)及運(yùn)行管理。
　　對于三維水壓面的繪制，仍然存在的問題是,計(jì)算機(jī)三維圖形技術(shù)在城市給水管網(wǎng)中的應(yīng)用尚顯粗疏，而本文通過比較也發(fā)現(xiàn)了三維圖形中個(gè)別區(qū)域與實(shí)際水壓分布趨勢的偏離。究其原因，在于對管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)的曲面插值技術(shù)還有待于進(jìn)一步改進(jìn)，同時(shí)曲面擬合算法也有待于進(jìn)一步合理化。
　　由于計(jì)算機(jī)技術(shù)在高速運(yùn)算和虛擬現(xiàn)實(shí)領(lǐng)域的巨大優(yōu)勢，在合理修正水壓面的三維模型后，可以將其用于城市給水管網(wǎng)日常運(yùn)行管理和優(yōu)化調(diào)度時(shí)的信息參考。

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