出　　自： 《中國給水排水》 1989年第1期第14頁
發表時間： ： 1989-1

彭永臻

(哈爾濱建筑工程學院)

摘要：本文以非穩定狀態下的活性污泥法處理系統，作為最優控制的研究對象。根據現代控制理論，在有出水水質和狀態變量等約束條件下，建立能求出使目標函數為最小的最優控制和數學模型。最后，對這個數字模型，用計算機進行數值計算并繪圖，求解出在幾種不同的約束條件下，最優控制變量的變化規律。

前言

　　本文以進水流量和進水底物濃度，隨時間不斷變化的非穩定狀態，完全混合式活性污泥法處理系統(以下簡稱處理系統)作為控制對象；以處理系統的總運行費用為目標函數。分別按無約束條件下、有約束條件下的最優控制，來研究非穩定狀態下的最優控制。
完全混合式活性污泥法處理系統的流程，如圖1所示。

　　進水中微生物濃度X 0 和出水中微生物濃度X e 都非常低，并且是一進一出，因此，在進行物料衡算時可忽略不計。為了簡化，假設進水的底物經初沉池后都是溶解性的，并且曝氣池中的溶解氧濃度和二沉池中的活性污泥總量維持不變，這在控制中是可以做到的。如圖1所示，有兩種排放污泥的方式，即從污泥回流管線上排除或從曝氣池中直接排除。有很多人認為:從曝氣池中直接排放污泥更為合理，因為這種排泥方式有利于對系統進行更有效的控制及其后的污泥濃縮。因此，本文將根據從曝氣池中排泥的流程，來推導處理系統的動力學模型和進行控制。
　　處理系統的控制變量有污泥的排放量Q w X，供氧量和回流污泥量Q r 、X r 。由于前面假定了曝氣池中的溶解氧濃度和二沉池中的微生物總量不變，所以供氧量的控制，將由曝氣池中的耗氧速度來決定。而回流污泥流量Q r 根據物料平衡可由下式來決定。

定義，從圖1所示的特定的處理系統來看，無論是用污泥齡控制處理系統的運行，還是用BOD—污泥負荷來控制，最后都必須通過控制排放污泥量來實現。就是說，在假定了曝氣池中溶解氧濃度和二沉池中的活性污泥總量不變的條件下，控制排放污泥量是過程控制的唯一手段，它和控制污泥齡或BOD—污泥負荷是等價的。
完全混合式曝氣池中的底物濃度就是出水底物濃度，其濃度很低。因此其比底物去除速度和比微生物增長速度可分別用式(3)和式(4)表示。
　　q=KS(3)
　　u=Yq-K d (4)
　　式中:
　　q——比底物去除速度；
　　K——比底物去除速度常數；
　　u——比微生物增長速度；
　　Y——產率系數；
　　K d ——微生物的內源呼吸速率常數。
　　由于進水水質水量的變化，必然引起處理系統中狀態變量和輸出變量隨時間的不斷變化。因此，以時間為自變量，通過對圖1所示的處理系統的微生物量和底物量的物料平衡，根據式(3)和式(4)建立狀態方程，如式(5)和式(6)所示，這也是處理系統的基本微分方程式，建立系統的狀態方程是解最優控制問題的必要條件。

如果處理系統在較高的負荷下運行，表示比底物去除速度的公式(3)已經不能滿足精確度的要求，這時應該采用式(7)。

由式(2)可見，回流污泥量Q r 是回流污泥濃度X r 、進水流量Q和微生物濃度X的函數。
　　回流污泥所需費用=(回流單位污泥量所需電費B)×(回流的污泥量)

　　供氧所需要的費用，取決于溶解單位氧氣的費用和曝氣池中氧的消耗速度。氧的消耗速度R r 如式(11)所示:
　　R r =αQ(S 0 -S)十bVX =VX(αKS+1.42K d (11)
　　式中:
　　α——作為能量被去除的底物占總去除底物的比例，因此有α=1十Y；
　　b——微生物內源呼吸時的氧的利用速度，一般有b=1.42K d 。所以，
　　供氧所需費用=(溶解單位氧量所需費用C)×(耗氧量)

　　C的數值取決于供氧機械的效率和曝氣擴散設備的效率。
　　排放出水中的污染物所需費用=(排放單位污染物所交付的費用或罰款w)×(排放的底物或污染物的量)

　　綜合各式:

　　如果T 0 =0，T=1日，式(14)就表示處理系統每日所要支付的總費用。
　　為了求解出式(14)這個目標函數為最小的最優控制變量Q w (t)，首先必須引入拉格朗日未定向量函數(稱伴隨變量)λ 1 (t)，和λ 2 (t)，以及哈密爾頓函數H(X，S，Q w ，λ 1 ，λ 2 ，t)，如式(15)、式(16)和式(17)所示。滿足H函數為最小值的最優控制，同時也使目標函數J取得最小值。

　　式中:f 1 和f 2 ——分別表示狀態方程式(5)和式(6)的右邊項。
　　根據控制論中龐特里亞金的最大值原理，以X，S，λ 1 ，λ 2 和Q w 為未知函數，由狀態方程和式(15)~式(17)可組成最優控制數字模型的聯立方程組，如式　　(18)~式(22)所示，這個聯立方程的解之一 就是所要求的最優控制函數的解。狀態變量的解X(t)和S(t)稱為最優軌跡，是指最優控制下的狀態變量。

　　在聯立方程式中共有五個方程(四個微分方程和一個代數方程)，求五個未知函數Q w ，X，S，λ 1 ，λ 2 ，因此方程組有解。對于實際的污水處理系統來說，Q w (t)必須大于或等于零，Q w (t)≥0，也就是說在運行中只能從曝氣池向外排放污泥，而不能往曝氣池中投加活性污泥，所以式(22)必須寫成如下的形式

　　這樣，問題就轉變成求控制變量在大于等于零[Q w (t)≥0]的范圍內，目標函數的最小值和最優控制變量Q w (t)。這樣的最優控制問題不能簡單地用變分法來求解，而只能用龐特里亞金的最大值原理來解決。

二、有約束條件最優控制的數學模型

　　如果用平均出水質量達到排放標準，來約束處理系統的出水質量，同時約束處理系統每一個周期前后的狀態變量基本相同，那么，本文所研究的最優控制，就變成了在滿足某一出水質量和末端約束條件的基礎上，求出使運行費用這一目標函數為最小的最優控制問題。
以處理系統的運行費用J作為目標函數，在非穩定狀態下的某一期間(從T 0 到T)，用泛函數表示，如式(23)所示。

　　式中:J 1 ——污泥處置費；
　　J 2 ——回流污泥費用；
　　J 3 ——曝氣費；
　　A——單位污泥量處置費(分/kg·污泥)；
　　B——回流單位污泥量所需電費(分/m 3 )；
　　C——溶解單位氧量所需電費(分/kg·O 2 )；
　　α——作為能量被去除的底物，占總去除底物的比例，因此有α=1-Y；
　　b——微生物內源呼吸時氧的利用速度，
　　一般有b=1.42K d ·d 1 。如果T 0 =0，T=1日，式(23)就表示處理系統每日的運行費用。
　　使每日平均出水底物濃度 小于或等于排放標準S st ，應滿足式(24):

　　若處理系統的末端狀態受到下列m個條件的約束

　　式中:T——末端的時刻，若以一日為周期，則T=1。
　　若在目標函數中加入另一形式的補償函數，通過使新的目標函數〔如式(26)所示〕，為最小這個手段，來滿足式(25)的約束條件，

　　式中:G j ——相當大的正數，其值根據約束條件的精確度來確定。
　　從式(26)可見，當式(25)的約束條件都被滿足的話，有h(g j )=0，式(26)的目標函數就變為單純處理系統的運行費用；而當不滿足約束條件式(25)時，有h(g j )=G j ，使式(26)的目標函數值增大，只有使該值趨近于最小值時，才能得到最優控制的解。那么，預先設定的G j 的值越大，式(25)的約束條件就越能得到滿足，在　　一定的誤差范圍內就可以得到滿足式(25)中；所有的約束條件的最優控制函數。
　　為滿足式(24)中平均出水底物濃度，低于排放標準這個約束條件，由狀態變量Z(t)得:

令Z(T 0 )=0，得積分式:

　　這樣，式(24)中的積分型的約束條件，就可以變成末端狀態型的約束條件

　　式中:Q t ——每日進水總流量。
　　可見，新的狀態變量Z(t)的物理意義是在某一期間T 0 ~t內，處理系統所排放的底物數量。那么Z(T)就是每日(一周期)排放的底物總量。根據最優控制理論，由于增加了一個新的狀態變量Z(t)，狀態方程和拉格朗日未定系數方程各增加一個。哈密爾頓函數如式(27):

　　根據龐特里亞金的最大值原理，式(18)(19)是狀態方程，其初始條件為已知，因為以日為一個控制周期，有T 0 -0狀態變量的初始值，如下式所示:
　　X(T 0 )=X(0)
　　S(T 0 )=S(0)
　　Z(T 0 )=Z(0)=0
　　根據最優控制理論，它的初始條件未知，但末值條件由下式給出:
　　λ 1 (T)=-2G 1 [X(T 0 )-X(T)]
　　λ 2 (T)=-2G 2 [(ST 0 )-S(T)]
　　λ 3 (T)=-2G 3 [Q t ·S st -Z(T)]
　　由此可見式(18)—(22)聯立方程組中，共有七個方程式和七個未知函數(X，S，Z，λ 1 ，λ 2 ，λ 3 和Q w )，其中有六個微分方程式并已知六個邊界條件，聯立方程可解。
　　為了舉例說明最優控制在污水處理系統中的應用，求出方程式的解，首先假定動力學常數和其它系數的值，如表1所示。每日進水流量和進水底物濃度隨時間的變化規律如式(28)和式(29)所示，假定回流污泥濃度X r 的變化如式(30)所示。
　　動力學常數及其它系數的假定值 表1

　　將式(28)~(30)和表1中的常數代入聯立方程式(18)~(22)，然后根據處理系統已知的初始條件，就可以求出數值解。因為污泥處置的費用與處理方式、污泥成分以及處理程度等很多因素有關，其處理所需要的費用相差很大，在表1中將單位污泥處置費A的取值，確定在5~25分/kg污泥之間。另外，在表1中將排放單位污染物BOD所需要的費用w的取值范圍確定在20~80分/kgBOD之間。首先令A=5，w=80 代入聯立方程后用計算機進行數值解析。得到的最優控制函數Q w (t)、狀態變量的最優軌跡X(t)和S(t)隨時間變化的情況，然后用計算機直接作圖如圖2(α)所示，處理系統所需要的總費用J和相對應的平均出水底物濃度 隨著數值計算次數N的增加向最優值逼進的情況如圖2(b)所示。最后得到了最小的總費用Jmin=392.67(10 3 分/d=3926.7(元/d)?？傎M用為最小的情況下平均出水底物濃度(以下稱最優平均出水底物濃度) =15.22mg/L。這就是說，平均出水底物濃度 高于或低于15.22mg/L其總費用J都將超過3926.7元/d。因為當 >15.22mg/L，雖然能節省總費用中的運行費(J 1 ，J 2 ，J 3 )，但排放污染物所支付的費用J 4 卻升高了；反之，當 >15.22mg/L時，J 4 的值雖然降低了，但運行費用肯定要增加。圖2(α)所示的最優控制函數Q w (t)的變化形態近似于控制論中的開關控制(bang-bang控制)。

　　然后令w=50，w=35，w=20(分/kgBOD)其它條件不變，來分別求解聯立方程，得到的最優控制Q w (t)，最優軌跡X(t)和S(t)，最小總費用J mi 以及最優平均出水底物濃度 ，如圖3所示。帶有約束條件的計算結果如圖2(c)。圖4表示出水排放標準為25mg/L時，相應的最優控制計算結果?？梢钥吹?，排放標準的約束條件以及使末端狀態變量和初期狀態變量相同的約束條件，都基本能得到滿足。因為它在滿足一些約束條件的基礎上，使人們最關心的目標函數為最優。幾乎所有的城市污水和工業廢水的流量、濃度，都是隨時間不斷變化的，有時其變化速度和幅度很大，這給處理系統的運行管理帶來很多麻煩。如果能采用最優控制，不僅能定量地控制出水質量，還能盡量減小運行費用。
　　本文認為，雖然最優控制的實施有待于活性污泥法動力學模型的完善和處理系統計算機自動控制的進一步開發。但是在設計污水處理廠時，以污水廠的建設費為目標函數的、靜的最優化和以運行費用為目標函數的、動態的最優控制相結合，來進行研究，將會使這方面的研究更加完善，這應該是今后的研究課題。

主要參考文獻

[1]Fan. L. T,et al; "Dynamic Analysis and optimal Feedback Control Synthesis Applies to Biological Waste Treatment "Jour.Water Res. 7.1609(1973)
[2]Angelbeck, D. I. , and Shah Alam, A. B. ,"Simulation Studies on Optimization of the Activated Sludge Process,", Jour.WPCF. ,50 31-39(1978)