岳　舜　琳

（上海市自來(lái)水公司）

　　摘要　聚丙烯酰胺作為高分子混凝劑對(duì)水中懸浮物的行為服從朗格茂等溫吸附式，并以架橋方式使水中懸浮物結(jié)成聚集體以擁擠沉降形式下沉，本文從上述兩個(gè)基本觀點(diǎn)出發(fā)，推導(dǎo)出聚丙烯酰胺處理高渾濁水時(shí)，混凝劑劑量與渾液面沉降速度的關(guān)系式：
　　　　　　C0.5/(V-V0)2-Z/4(1+Z)=A+BC　　　
　　從而求得最佳劑量與水中含沙量的關(guān)系式：
　　　　CO0.5=K0.5[mS　　　或　C0=K[2mS2
　　和最優(yōu)劑量與含沙量的關(guān)系式：
　　　　Cp0.5=0.61K0.5[mS　或　C p0.5=0.37K[2mS2
　　　　Cp0.5=0.5 1K0.5[mS　或　C p0.5=0.26K[2mS2
　　并通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)予以驗(yàn)證，將試驗(yàn)求得最優(yōu)劑量來(lái)指導(dǎo)生產(chǎn)。
　　

　　采用聚丙烯酰胺處理高渾濁水是我國(guó)西北地區(qū)水處理的重要手段。不少研究者證明，作為高聚物的聚丙烯酰胺投入水中之后，將吸附于水中懸浮物的表面，并服從朗格茂等溫吸附模型。聚丙烯酰胺以其分子鏈的一部分附著在懸浮顆粒表面一個(gè)或多個(gè)吸附位置上，而其余部分則延伸到水中，這些延伸段與另一些懸浮顆粒上尚有吸附能力的空間位置相接觸時(shí)，即完成架橋作用。于是懸浮顆粒聚集至一定大小的團(tuán)粒，它的大小只受對(duì)系統(tǒng)的攪拌強(qiáng)度引起的剪切梯度和開始被吸附在顆粒表面上的聚合物的總數(shù)所控制；如果吸附位置被很多高分子聚合物鏈段占去，就將妨礙架橋作用的進(jìn)行；如果全部吸附位置被占去，架橋作用就完全終止。相反，如果僅少數(shù)吸附位置被占去，架橋作用就將難于抵抗由于攪拌所產(chǎn)生的剪切刀。
　　西北地區(qū)高渾濁水泥沙含量極大，有時(shí)達(dá)300kg/m3以上，但其中85%以上粒徑大于5μ，易于被聚丙烯酰胺（以下簡(jiǎn)稱PAM）所吸附，生成大的聚集體，加速其沉降。由于微小的泥粒，有一定的凝聚穩(wěn)定性，不易被吸附，故澄清水有較高的剩余濁度。若同時(shí)加入無(wú)機(jī)混凝劑進(jìn)行脫穩(wěn)，則澄清水濁度可得到改善。PAM系非電性混凝劑，經(jīng)部分水解后成為陰離子型混凝劑（簡(jiǎn)稱為HPAM），可提高其混凝效果。本文僅就HPAM劑量與泥沙沉速的關(guān)系進(jìn)行分析探討。

一、HPAM劑量與泥沙沉速的關(guān)系

　　高渾濁水中泥沙的沉降與單個(gè)顆粒泥沙的沉降不同，它是以清渾水交界面（渾液面）向下沉降的形式進(jìn)行的。分為四個(gè)階段。第一階段為加速沉降；第二階段為等速擁擠沉降；第三、第四階段為壓擠沉降。這里主要討論等速擁擠沉降階段的沉降速度，它是決定處理效果的主要技術(shù)參數(shù)。
1.泥沙吸附混凝劑后的表面復(fù)蓋率
　　前已述及泥粒表面吸附混凝劑的數(shù)量與水處理效果有很大影響，并符合朗格茂等溫吸附式。現(xiàn)將吸附的數(shù)量用復(fù)蓋率表示。按朗格茂等溫吸附式：
　　　　Ce/Ca/S=1+KCe/[mK=1/ mK +Ce/[m　　　　　　　　(1)
　　式中：Ce——PAM在水中的平衡濃度；
　　　　　Ca——吸附于泥沙表面上的HPAM濃度；
　　　　　S——泥沙濃度；
　　　　　[m——泥沙的飽和吸附量；
　　　　　K——平衡常數(shù)。
　　　　加入的HPAM劑量
　　　　　　C=Ce+Ca　　　　　　　　(2)
　　　　泥沙表面的復(fù)蓋率
　　　　　　θ=Ca/[mS　　　　　　　(3)
　　利用一些數(shù)學(xué)上的運(yùn)算，可以得到加入混凝劑后，水中泥沙表面復(fù)蓋率與劑量的關(guān)系式：
　　　　　　θ=C／1+K[mS/K+C/1+ K[mS　　　　　(4)
　　以及
　　　　　　1-θ=1+ K[mS /K／1+K[mS／K+C/1+ K[mS　　　　　　　(5)
　　最后可得
　　　　　θ(1-θ)=(1+ K[mS /K)C／(1+ K[mS /K+ C/1+ K[mS)2　　　(6)
　　(4)、(5)式的詳細(xì)推導(dǎo)見文獻(xiàn)［略］
　　存在一個(gè)最佳復(fù)蓋率θ0，在此復(fù)蓋率下，顆粒最大，沉速最快。按照前述理論，最佳復(fù)蓋率應(yīng)為θ0=0.5。故與生產(chǎn)有關(guān)而需要研究的θ值范圍為0～0.5。在推導(dǎo)(4)、(5)、(6)式的過程中，做了一些數(shù)學(xué)上的近似簡(jiǎn)化處理，在復(fù)蓋率小于0.5（生產(chǎn)上實(shí)際的復(fù)蓋率遠(yuǎn)小于0.5）的條件下，沉速測(cè)定的精度范圍內(nèi)，事實(shí)證明這些近似簡(jiǎn)化處理是可以允許的。
2.聚集體的粒徑
　　在一定的攪拌條件下，部分吸附了混凝劑的泥沙相互撞碰凝并，生成聚集體的速率為：
　　　　df/dt=k1n20θ(1-θ)　　　　　　　　　(7)
　　n0為水中泥沙的原始顆粒數(shù)，n0θ則代表吸附了混凝劑具有絮凝活性表面的數(shù)量，n0(1-θ)則代表未被混凝劑復(fù)蓋而能與n0θ部分發(fā)生架橋的表面數(shù)量。
　　在一定的攪拌條件下，生成的聚集體受到攪拌造成的剪切力的影響，又會(huì)破碎。此種聚集體的破碎速率與已生成的聚集體的質(zhì)量或體積成正比，與其表面積及泥沙表面的復(fù)蓋情況θ(1-θ)成反比。
　　若已生成的聚集體的半徑為R，則體積
　　　　　　V=4/3·πR3
　　面積A=4aπR2（a為形狀系數(shù)，其意義為聚集體面積與體積相同的園球的面積之比。）
　　故聚集體破碎的速率
　　　　　df/dt=k’2·4/3·πR2/4aπR2θ(1-θ)　
　　　　　　　　==k2·R3/R2θ(1-θ)　　　　　　　　　(8)
　　聚集體生成的凈速率為：
　　　　　　df/dt= k1n20θ(1-θ)- k2R3/R2θ(1-θ)　　　(9)
　　當(dāng)達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)，df/dt=0
　　　　　　k1n20θ(1-θ)= k2R3/R2θ(1-θ)
　　　　　　R= k1/ k2·n20θ2(1-θ)2　　　　　　　　　(10)
　　n0與水中含沙量S成正比，即n0 =k3S
　　　　　　R= k1/ k2·K23S2θ2(1-θ)2　　　　　　　　(11)
　　或　　　R= ＫS2θ2(1-θ)2　　K= k1/ k2·K23　　　　(11＇)
　　此即為在一定混凝劑劑量，一定攪拌條件下生成的聚集體的半徑。
3.泥沙沉速與劑量的關(guān)系
　　室內(nèi)試驗(yàn)可觀察到高渾濁水經(jīng)混凝劑處理后，聚集體的顆粒基本上是均勻的，且在水中仍舊以渾液面形式下沉。此沉速與懸浮澄清池懸浮層中水的上升流速相等，屬于均勻顆粒等速擁擠沉降的范疇。在一定的水溫下，當(dāng)泥沙的物理化學(xué)性質(zhì)，泥沙濃度和混凝劑性質(zhì)不變時(shí)，均勻顆粒等速擁擠沉降的沉速V與粒徑的關(guān)系式推導(dǎo)如下：
　　令η為沉降阻力系數(shù)，Re為雷諾數(shù)，
　　η=Pm3d/6LPwV2a(1-m),
　　Re=PwVd/6aμ(1-m)
　　試驗(yàn)證明[3]：η=A/Rze
V=(Ps-Pw)1/2-zg1/2-zm3/2-zd1+z/2-z／　A1/2-z 61+z/2-z uz/2-z (1-m) z/2-zPw1-z/2-z
　　上式中：P/L單位厚度均勻顆粒懸浮層水壓降；
　　　　　　Ps,Pw——聚集體和水的密度；
　　　　　　g——重力加速度；
　　　　　　m——聚集體在水中的孔隙比；
　　　　　　d——聚集體粒徑；
　　　　　　A——常數(shù)；
　　　　　　μ——水的粘滯系數(shù)；
　　　　　　a——聚集體的形狀系數(shù)；
　　　　　　z——指數(shù)。
　　當(dāng)Re<0.9時(shí)，為層流流態(tài)，z=1；
　　當(dāng)0.9<Re<35.5時(shí)，z=0.7。
　　合并除d以外各項(xiàng)令為φ，
　　　　則　V=φd1+z/2-z　　　　　　　　　　(12)
　　故當(dāng)Re<0.9時(shí)，z=1，V=φd2　　　　　　　(12-1)
　　當(dāng)Re>0.9<35.5時(shí)，z=0.7，V=φ2d1.31　　　(12-2)
　　或者V=φ’R1+z/2-z　　　　　　　　　　　　(12-3)
　　　　　V/V0=R1+z/2-z／R01+z/2-z　　　　　　(13)
　　式中：R0——絮凝前泥沙的平均顆粒半徑；
　　　　　V0——絮凝前泥沙的擁擠沉降速度。
　　故：
　　V-V0/V0=R1+z/2-z- R01+z/2-z／R01+z/2-z　　　　　　　　(14)
　　按(11＇)式，于不加混凝劑時(shí)，θ=0，R趨近于0，而實(shí)際上為R=R0。故(11’)式應(yīng)予校正。從(13)式，當(dāng)V=V0時(shí)，
　　R1+z/2-z= R01+z/2-z=K1+z/2-z·S2(1+z/2-z)·θ2(1+z/2-z) ·(1-θ) 2(1+z/2-z)　　　　(15)
是合理的。因而
　　V-V0=V0/R01+z/2-z·K1+z/2-z·S2(1+z/2-z)·θ2(1+z/2-z) ·(1-θ) 2(1+z/2-z)　　　(16)
　　將(6)式代入(16)式，并令
　　β＝V0/R01+z/2-z·K1+z/2-z·S2(1+z/2-z)(1+K[mS/K) 2(1+z/2-z)
　　可得：
　　　　V-V0=BC2(1+z/2-z)／(1+ R[mS/K+C/1+K[mS) 4(1+z/2-z)　　　　(17)
令
　　1+K[mS/β1+z/4(2-z)· K=A,
　　1/β1+z/4(2-z) ·(1+K[mS)=B
　　于最大沉速劑量時(shí)，V有極大值dv/dc=0，故最大沉速劑量：
　　C0=[1+k[mS]2/K　　　　　　　　　(20)
　　C0=A/B　　　　　　　　　　　　　(21)
　　當(dāng)Re<0.9 , z=1時(shí)，
　　　　　C0.5/(V-V0)0.125=A+BC　　　　　(18＇)
　　當(dāng)0.9<Re<35.5，z=0.7時(shí)，
　　　　　C0.5/(V-V0)0.191=A+BC　　　　　(18＂)
　　為驗(yàn)證(18)，(20)或(21)式，在一只600mL細(xì)口量筒中，注入含沙量為40kg/m3的水樣，加入已積壓水解度的部分水解的聚丙烯酰胺HPAM，顛倒五次，直立靜置測(cè)定渾液面沉速。半小時(shí)后測(cè)定一半高度以上水的濁度。結(jié)果見圖1，圖2。
　　沉速大于5.0mm/s時(shí)，聚集體顆粒粒徑大于1mm，雷諾數(shù)Re>0.9，屬于過渡區(qū)，故按(18＂)式整理資料。圖中劑量以8.0%的PAM商品計(jì)算。（以下均同）。由圖可見，當(dāng)劑量逐漸增加時(shí)，沉速逐漸加大，達(dá)到一個(gè)最大值后又逐漸減小。余濁與劑量的關(guān)系曲線則相反。存在一個(gè)最大沉速劑量，并且(17)式可寫成：
　　C0.5/(V-V0)·2-Z/4(1+Z)·A+BC　　　　　　　　　(18)
　　(18)式說明了沉速V，渾水含沙量S與混凝劑劑量C的關(guān)系。將(17)式取V對(duì)C的導(dǎo)數(shù)：
　　dv/dc=β·2(1+z)/(2-z)·C[2(1+z)/(2-z)-1] ·[1+K[mS/K+C/1+K[mS]-4(1+z/2-z) ·C2(1+z)/(2-z)·(1/1+K[mS)／[1+K[mS/K+C/1+K[mS] [4(1+z)/(2-z)-1]

　　

　　C0.5/(V-V0)0.191與C有直線關(guān)系。對(duì)于水解度為48.5%的HPAM，從圖1可求得A=4.00，B=0.0175，最佳劑量C0=228mg/L，對(duì)于水解度為35.8%的HPAM，A=2.00，B=0.0346，C0=58mg/L，測(cè)得的最大沉速劑量C0與計(jì)算值A(chǔ)/B基本相符。
　　一般高渾濁水處理中，投加HPAM的劑量遠(yuǎn)小于最大沉速劑量。這里只用以證明最大沉速劑量是一個(gè)客觀存在。
　　(18)，(20)式表示渾水含沙量，劑量與沉速三者的關(guān)系，在推導(dǎo)過程中做了簡(jiǎn)化。從簡(jiǎn)化過程[2]可知兩式中與劑量相對(duì)應(yīng)的復(fù)蓋率較實(shí)際復(fù)蓋率為大，因之(18)式與實(shí)測(cè)會(huì)發(fā)生偏離，劑量小時(shí)復(fù)蓋率小，偏離就小，劑量大時(shí)復(fù)蓋率大，偏離大。圖3系根據(jù)某水廠用HPAM進(jìn)行高渾濁水試驗(yàn)的數(shù)據(jù)，因?yàn)槌了俣夹∮?.3mm/s，聚集體顆粒都小于1.0mm，故雷諾數(shù)小于0.9，屬于層流流態(tài)，故按(18’) 式計(jì)算整理。結(jié)果見圖4’。圖中每一直線代表一個(gè)含沙量水樣的沉速與劑量的關(guān)系。由圖可見，當(dāng)含沙量小于130kg/m3時(shí)，劑量與含沙量之比值較小，即復(fù)蓋率較小，實(shí)測(cè)各點(diǎn)與(18’)式較符合。當(dāng)含沙量為150 kg/m3時(shí)，劑量與含沙量之比值較大，即復(fù)蓋率較大時(shí)，實(shí)測(cè)各點(diǎn)與(18＇)式偏離較大，各點(diǎn)不在一直線上。因之(18)，(20)式適用于含沙量等于或低于130 kg/m3的高渾濁水。

二、原水含沙量與最大沉速劑量的關(guān)系

　　從(20)式可知　C0.50=1/K0.5+K0.5[mS　　　　　　　　(20＇)
　　即最大沉速劑量C0的方根與含沙量S應(yīng)成直接關(guān)系。按圖4各直線的A.B值可求得各個(gè)C0值。將它與對(duì)應(yīng)的含沙量S作圖5。連接各點(diǎn)基本上可得一直線。因K≥1，故直線的截距1/K0.5≤1，直線雖不通過原點(diǎn)，但可以認(rèn)為實(shí)際上通過或接近原點(diǎn)，即截距可以忽略。
　　C0.50= K0.5[mS
　　或　　C0= K[m2S2　　　　　　　　　　　　　　　(20＂)

　　可見最大沉速劑量的方根與含沙量成正比，或最大沉速劑量與含沙量的平方成正比。圖5直線與實(shí)測(cè)點(diǎn)也有偏離，特別是含沙量在120 kg/m3以上時(shí)偏離較大。這同樣是推導(dǎo)中做了近似簡(jiǎn)化的緣故。

三、最優(yōu)劑量及與含沙量的關(guān)系

　　從圖1，圖2，圖3可見，對(duì)于同一含沙量水樣，隨著HPAM劑量的增加，沉速劑量曲線成一個(gè)倒鐘形，曲線的頂點(diǎn)為最大沉速劑量下的沉速，曲線的兩旁有兩個(gè)拐點(diǎn)，在此兩點(diǎn)上的斜率為最大，即沉速隨劑量的變率最大。
　　大于最大沉速劑量，使沉速降低，生產(chǎn)上固然不會(huì)采用：即使沉速達(dá)最大值的最佳劑量，沉速過大，生產(chǎn)上也不需要。反之，第一拐點(diǎn)在生產(chǎn)上卻很有用，在此拐點(diǎn)的劑量下，沉速增加最大，這一拐點(diǎn)劑量，稱之為最優(yōu)劑量。現(xiàn)在求最優(yōu)劑量的表達(dá)式。
　　曲線拐點(diǎn)處，d2V/dC2=0。假定采用比最大沉速劑量小的劑量時(shí)，聚集體粒徑都小于1mm,Re≤0.9，Z=1。從(19)式可知：
　　d2V/dC2=β·(12C2(1+K[mS/K)-16 c3·(1+K[mS/K+ c/1+K[mS)-9β(4c3/K-4c3/ (1+K[mS/K)2)／((1+K[mS/K+ c/1+K[mS)10　　　　　　　　　　　　(22)
　　d2V/dC2=0時(shí)
　　β·(12C2(1+K[mS/K)-16 c3·(1+K[mS/K+ c/1+K[mS)-9β(4c3/K-4c3/ (1+K[mS/K)2)=0
　　或　5C2/(1+K[mS/K)2-10C/K+3(1+K[mS/K)2/ K2=0　　　　　　　　(23)
　　因　C0=(1+K[mS/K)2/K　　　　　　　　　　　　　　　　　　(20)
　　故C2-2C0C+0.6C20=0　　　C1=0.37 C0，C2=1.63 C0　　　　　(23＇)
　　當(dāng)0.9<Re<35.5，從(19)式可知
　　d2V/dC2=β·[4.24C0.62(1+K[mS/K)2-18.9·C1.62/K+9.46C2.62·1/(1-K[mS/K)2]／(1+K[mS/K+C/1+K[mS) 7.21　　　　　(22-2)
　　d2V/dC2=0時(shí)，　C2-2C0C+0.45C20=0　　　　　　　　　　　(23＂)
　　C1=0.26C0，C2=1.74C0
　　C1相當(dāng)于第一個(gè)拐點(diǎn)的劑量，C2相當(dāng)于第二個(gè)拐點(diǎn)的劑量。C2無(wú)實(shí)用價(jià)值。為所求最優(yōu)劑量，并用Cp表示之，此最優(yōu)劑量的數(shù)值約為最大沉速劑量的1/3(Re≤0.9)到1/4(0.9<Re<35.5)。從圖1，圖2可見大體與實(shí)測(cè)值符合。
　　將Cp值代入(20＇)和(20＂)式，可得
　　Re≤0.9時(shí)，Cp0.5=0.61/K0.5+0.61K0.5[mS　　　　　　(24-1)
　　0.9<Re<35.5時(shí)，
　　Cp0.5=0.51/K0.5+0.51K0.5[mS　　　　　　　　　　　　(24-2)
　　或Re≤0.9時(shí)，Cp0.5=0.61/K0.5[mS　
　　或Cp=0.37K[m2S2　　　　　　　　　　　　　　　　　(24＇-1)　　
　　0.9<Re<35.5時(shí)，　Cp0.5=0.51K0.5[mS
　　或C＇p=0.26K[mS2　　　　　　　　　　　　　　　　　(24＇-2)
　　與最大沉速劑量一樣，最優(yōu)劑量的方根也和含沙量S成正比。(24＇-1)(24＇-2)兩式所表示的直線與圖5直線一樣，通過原點(diǎn)。
　　生產(chǎn)上應(yīng)通過測(cè)定，求得不同含沙量水樣的最優(yōu)劑量，用以指導(dǎo)生產(chǎn)。以上推導(dǎo)是以泥沙粒徑組成及表面性質(zhì)不變?yōu)榍疤岬模瑢?shí)際上不可能每一次沙峰，泥沙粒徑組成及表面性質(zhì)都一樣，因之生產(chǎn)上使用本文所討論的理論時(shí)，要考慮到這一點(diǎn)。
　　參考文獻(xiàn)（略）